10. oct., 2017

ALGEBRA DE POLINOMIOS Y  MÉTODOS DE FACTORIZACION

 

A.                  INTRODUCCION

 El presente libro es de nivelación matemática para las carreras técnicas en “INGENIERIA ESTADISTICA APLICADA A LA FIABILIDAD Y RIESGOS” , "INGENIERIA DE MODELOS GERENCIALES", "INGENIERIA DEL RECURSO HUMANO",  "ECONOMIA FINANZAS Y RIESGOS", "ESTADISTICA E INVESTIGACION EN SALUD Y SOBREVIVENCIA".

El libro electronico interactivo “ALGEBRA DE POLINOMIOS Y METODOS DE FACTORIZACION” presenta un enfoque diferente a los textos tradicionales de factorización de polinomios, porque contiene videos por temas, videos seleccionados de YOUTUBE para facilitar el proceso de aprendizaje en la modalidad de educación a distancia y virtual, además presenta un enfoque de estructuras algebraicas al conjunto de polinomios.   Es decir,  El algebra de  los polinomios se desarrolla en la estructura de espacio vectorial y de anillo.  De esta manera se estudian los ceros o raíces  de un polinomio, concepto que nos lleva a   los principios  básicos de la factorización  y a la divisibilidad de polinomios.

 

Lasa dudas del Lector se aclaran a traves de nuestro blog de esta pagina web.  En este sentido,  un anillo intuitivamente es un conjunto de números reales en el que podemos sumar, restar y multiplicar con las propiedades habituales[1].   En el conjunto de los polinomios es similar el concepto de anillo, interesa la suma de polinomios y sus propiedades de grupo abeliano (conmutativo), interesa la multiplicación de un numero por un polinomio y sus propiedades,  en conclusión las propiedades anteriores forman un espacio vectorial en el conjunto de los polinomios, y en ese sentido todo polinomio es un vector.   También es de  gran importancia la multiplicación de polinomios y sus propiedades.  Si  al  espacio vectorial de los polinomios le añadimos  las propiedades de la  multiplicación sobre el conjunto de los Reales decimos que tal conjunto de los polinomios forma un anillo conmutativo con unidad.

 De lo anterior  cubrimos  el binomio de Newton, la formula cuadrática, la diferencia de cuadrados,  la suma y diferencia de cubos  y sus consecuencias en la factorización de relaciones algebraicas (división de polinomios).   Recordando que  los coeficientes del binomio de newton son las bases del análisis combinatorio que conduce a la teoría de la probabilidad y además  del binomio de Newton se obtiene la función de probabilidad Binomial que es una fuente importante en la teoría de los grande números[2] y de el estudio de las series.   El  presente libro analiza los principales teoremas de la factorización tales como el “Teorema fundamental del algebra” el Lema de Gauss, la regla de Ruffini (división sintetica)”.    Seguidamente  analizamos las funciones polinomiales cuadráticas y sus gráficos mediante el software “Equation Grapher” y el “MathCad”,  el concepto de distancia entre dos puntos y la circunferencia y las figuras cónicas ( elipse, hipérbola y parábola)[3] 

 Un objetivo del libro es que los alumnos sean capaces de:  Distinguir cada caso de factores.  Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente, cuál es el caso de factores que deben aplicar; y que lo sepan aplicar.   Identificar si un polinomio es primo o compuesto. Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de un caso de factores y análisis funcional simple.

El objetivo general es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema de los polinomios de una o más variables, saber por donde empezar, qué propiedad aplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio del análisis factorial y divisibilidad de polinomios.   Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo más completos posibles, en sus cuadernos de trabajo, la corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en el pizarra u otras herramientas de enseñanza.  En esta oportunidad haríamos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qué propiedades aplicaron en cada uno de ellos.   De esta manera lograríamos que los alumnos participen de la clase, y además también puede surgir que para un mismo ejercicio hayan alumnos que lo resuelvan manera distintas pero correctas. Y en este sentido estimular la creatividad algebraica de los Estudiantes o Lectores.

 En resumen  el libro cubre   en la parte B  un análisis del espacio vectorial y anillo de los polinomios respaldado con teoremas demostrados sobre las propiedades de la suma de polinomios y producto de un numero  con un polinomio reforzado con ejercicios resueltos y propuestos, seguidamente estudiamos la multiplicación de los polinomios haciendo un enfoque formal de la definición, las propiedades de la multiplicación de polinomios no se demuestran pero se respaldan con ejercicios resueltos y propuestos.

En  la parte C  del libro presentamos la factorización de los polinomios como un proceso inverso de la multiplicación antes comentada, de esta manera desarrollamos el trinomio cuadrado perfecto, la factorización por complementación del trinomio cuadrado perfecto, el factor común por agrupación, la diferencia de cuadrados perfectos, factorización del binomio al cubo, el binomio de newton y sus propiedades, la factorización de suma de cubos y diferencia de cubos.  Todo lo anterior respaldada con ejercicios resueltos y propuestos.    En la parte D   estudiamos  el valor numérico, los ceros de un polinomio y los factores de un polinomio por medio de los ceros o raíces,  estudiamos y deducimos la formula cuadrática para encontrar ceros o raíces de un polinomio de grado 2 .  En la parte E estudiamos la factorización, divisibilidad y las ecuaciones racionales o división de polinomios y las diversas técnicas de simplificación de  esta relaciones, cubrimos el algoritmo de la división de polinomios y la división sintética o método de Ruffini.  Presentamos los principales teoremas para factorizar, los ceros de un polinomio, el teorema fundamental del algebra, los teoremas de Descartes, el producto cartesiano y el sistema de coordenadas cartesianas.  En la parte F  estudiamos las relaciones y funciones, la distancia entre dos puntos, las ecuaciones lineales en su forma estandar, forma pendiente intercepto y la forma pendiente punto, se demuestran algunos teoremas entre ellos el de la rectas paralelas.  Se estudian las rectas perpendiculares. Y las funciones cuadráticas.   En La parte G  presentamos las relaciones conicas: la circunferencia, la elipses, la parábola y la hipérbola.       

  

 TABLA DE CONTENIDO

 

 

 

 

Pagina

A

 

 

INTRODUCCION

 

9

 

 

 

 

 

B

 

 

PROPIEDADES  DEL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS

 

12

 

I

 

  DEFINICION DE POLINOMIOS Y LAS PROPIEDADES DE LA SUMA

 

12

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION  DE  POLINOMIO 

 

12

 

 

2

LA  NOTACION  SUMATORIA   ∑  (SIGMA)

 

14

 

 

3

LAS  PROPIEDADES  DE  LA  SUMATORIA   (∑)

 

15

 

 

4

LOS POLINOMIOS CON LA NOTACION SUMATORIA  (  ∑  ) 

 

16

 

 

5

LA IGUALDAD DE POLINOMIOS 

17

 

 

6

GRADO DE UN POLINOMIO     P(x)

 

18

 

 

7

 EJEMPLOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

 

19

 

 

8

LA SUMA DE POLINOMIOS  Y SUS PROPIEDADES

21

 

 

9

PROPIEDADES  DE  LA SUMA  DE  POLINOMIOS

 

22

 

 

10

PROBLEMAS RESUELTOS  SOBRE LA SUMA DE POLINOMIOS

 

23

 

 

11

LA  RESTA DE POLINOMIOS

33

 

 

12

EJERCICIOS RESUELTOS

33

 

 

 

 

 

 

 

13

VIDEOS  DE  SUMAS  RESTAS DE POLINOMIOS

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

EL  PRODUCTO  DE UN NUMERO  CON UN POLINOMIO Y SUS PROPIEDADES

41

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION  DE UN NUMERO CON UN POLINOMIO

 

42

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

48

 

 

 

 

 

 

III

 

LA  MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Y SUS PROPIEDADES

49

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION FORMAL  DEL PRODUCTO  DE  DOS POLINOMIOS

 

52

 

 

2

 PROPIEDADES  DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

 

53

 

 

3

EJERCICIOS  RESUETOS 

 

55

 

 

4

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

61

 

 

5

VIDEOS  DE  MULTIPLICACION DE  POLINOMIOS

64

 

 

 

 

 

C

 

 

TECNICAS DE  FACTORIZACION  DE  POLINOMIOS

65

 

I

 

FACTOR  COMÚN  POR  AGRUPACION 

 

65

 

 

 

VIDEOS DE FACTOR COMÚN

69

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS   RESUELTOS 

 

70

 

 

2

VIDEOS DE FACTOR COMÚN Y PRODUCTOS NOTABLES

73

 

 

3

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  EJERCICIOS PROPUESTOS

74

 

 

 

VIDEOS  DE  FACTORIZACION  POR  TANTEOS

89

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

90

 

 

 

 

 

 

II

 

EL TRINOMIO  CUADADO  PERFECTO

 

91

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

94

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

98

 

 

3

VIDEOS DE FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

98

 

 

 

 

 

 

III

 

FACTORIZACION  POR  COMPLETACION DEL  TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

99

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

101

 

 

 

VIDEOS DE FACTORIZACION POR COMPLETACION AL CUADRADO

104

 

 

 

 

 

 

 V

 

FACTORIZACION POR   DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTO

 

105

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

106

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS  Y PROBLEMAS   PROPUESTOS

 

108

 

 

 

VIDEOS  DE  “DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO”

112

 

 

 

FACTORIZACION  DE UN   BINOMIO AL  CUBO

113

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO  Y  EJEMPLOS

 

114

 

 

 

VIDEOS  DE  BINOMIOS AL CUBO Y APLICACIONES DEL BINOMIO DE NEWTON

119

 

 

 

 

 

 

VII

 

EL  BINOMIO  DE  NEWTON

 

120

 

 

 

 

 

 

 

1

 EL  PRINCIPIO  FUNDAMENTAL  DEL  ANALISIS COMBINATORIO 

 

122

 

 

2

EL  FACTORIAL  DE  UN  NUMERO

 

123

 

 

3

LOS  COEFICIENTES  BINOMICOS

 

124

 

 

4

EL  BINOMIO  DE  NEWTON  Y  EJEMPLOS

 

126

 

 

5

 PROBLEMAS RESUELTOS 

130

 

 

 

 

VIDEOS  DEL BINOMIO DE NEWTON Y TRIANGULO DE PASCAL

 

132

 

VIII

 

LA  FACTORIZACION  DE  UNA  SUMA  Y  RESTA  DE  CUBOS

 

133

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

 

134

 

 

 

 

 

 

X

 

FACTORIZACION  DE  UNA  DIFERENCIA  DE  CUBOS  Y  EJEMPLOS

 

137

 

 

 

 

VIDEOS  DE  UNA  SUMA Y RESTA DE CUBOS

140

 

 

 

 

 

 

XI

 

 AUTOEVALUACION 

 

141

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

VALOR NUMERICO  Y  LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO

 

143

 

 

 

 

 

 

I

 

VALOR  NUMERICO  DE  UN  POLINOMIO

 

143

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS

 

144

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

148

 

 

 

 

 

 

II

 

 

LOS  CEROS  DE UN POLINOMIO Y EJERCICIOS RESUELTOS

 

150

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

160

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO  DE  GRADO  2  Y DEDUCCION DE LA FORMULA CUADRATICA

 

161

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS

 

164

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

171

 

 

 

VIDEOS SOBRE LOS CEROS DE UN POLINOMIO

 

172

 

 

 

 

 

E

 

 

FACTORIZACION  Y DIVISIBILIDAD EN ECUACIONES RACIONALES

 

173

 

 

 

 

 

 

I

 

ECUACIONES  RACIONALES NOTABLES Y SU SIMPLIFICACION

 

173

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS  RESUELTOS 

 

174

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

175

 

 

2

La COCIENTE  DE LA SUMA  O  RESTA  DE CUBOS  ENTRE LA SUMA O RESTA DE SUS BASES.   PROBLEMAS RESUELTOS

 

175

 

 

3

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

178

 

 

 

 

 

 

II

 

 OTROS  EJEMPLOS  RESUELTOS  POR  SIMPLIFICACION 

179

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

180

 

 

 

 

 

 

III

 

MULTIPLICACION  DE  ECUACIONES  RACIONALES  Y  SU  SIMPLIFICACION

 

182

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

184

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA DIVISION  DE  ECUACIONES  RACIONALES  Y  PROBLEMAS RESUELTOS

 

185

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

186

 

 

 

VIDEOS DE EXPRESIONES RACIONALES

187

 

 

 

 

 

 

V

 

 AUTOEVALUACION

 

188

 

VI

 

INTRODUCCION  AL  ALGORITMO  DE  LA  DIVISION

 

189

 

 

 

 

 

 

 

1

LA DIVISION DE POLINOMIOS  Y  EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

190

 

 

 

 

 

 

VII

 

EL   ALGORITMO   DE LA  DIVISION

 

191

 

 

 

VIDEOS  SOBRE  EL  ALGORITMO DE LA DIVISION

192

 

 

 

 

 

 

 

1

EL  MODELO  DE  BARNETT

 

193

 

 

2

LA  DIVISION  DE  UN  MULTINOMIO  ENTRE  UN  TRINOMIO

 

197

 

 

3

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

201

 

 

4

AUTOEVALUACION 

 

202

 

VIII

 

 

LA   DIVISION  SINTETICA  Y  LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO

205

 

 

1

DIVISION  SINTETICA:  PROCEDIMIENTOS  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

205

 

 

 

TEOREMAS  DEL  RESIDUO  Y  DEL  FACTOR

 

208

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

209

 

 

 

VIDEOS DE EVALUACION Y EXAMEN DE ALGEBRA DE POLINOMIOS

212

 

 

 

 

 

 

IX.

 

TEOREMAS  ACERCA  DE  LA  FACTORIZACION DE  LOS  POLINOMIOS  Y  APLICACIONES

 

213

 

 

 

ViDEOS DEL TEOREMA DE DESCARTES

214

 

 

1

TEOREMA DE DESCARTES

 

214

 

 

2

PROBLEMAS  PROPUESTOS  SOBRE  EL  TEOREMA  DE  DESCARTES

 

219

 

 

3

TEOREMA  DE  LOS  CEROS  COMPLEJOS  DE  POLINOMIOS CON COEFICIENTES  REALES Y  EJEMPLOS

 

220

 

 

4

EJERCICIOS  PROPUESTOS  SOBRE  LA  MULTIPLICACION DE FACTORES  COMPLEJOS

 

224

 

 

5

LA  DIVISION  DE  NUMEROS  COMPLEJOS  Y  PROBLEMAS  PROPUESTOS

 

225

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS  SOBRE  LA DIVISION DE NUMEROS  COMPLEJOS

 

 

 

 

 

VIDEOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Y DE R2

227

 

 

6

EL  TEOREMA  FUNDAMENTAL  DEL ALEGEBRA

229

 

 

7

EL TEOREMA DE LOS FACTORES  LINEALES  Y  EJERCICIOS RESUELTOS

230

 

 

8

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

232

 

 

9

EL  TEOREMA  DE  LOS  SIGNOS  DE  DESCARTES Y  EJEMPLOS

233

 

 

 

VIDEOS DE EVALUACION Y TEOREMA DE DESCARTES

233

 

 

10

EL  TEOREMA  DE  LAS  COTAS  SUPERIORES  E  INFEREIORES DE  LOS  CEROS  REALES,  EJEMPLOS

 

236

 

 

11

 EL  PRODUCTO  CARTESIANO

 

239

 

 

12

LAS  COORDENADAS  CARTESIANAS

 

241

 

 

13

UN  TEOREMA  PARA  ENCONTRAR EL  CERO  DE  UN  POLINOMIO EN UN  INTERVALO,  Y  EJEMPLOS

 

 

 

 

 

VIDEOS DE INTRODUCCION A LAS FUNCIONES

 

244

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS  RELACIONES  Y  FUNCIONES LINEALES  Y  CUADRATICAS

 

247

 

 

 

 

 

 

I

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES

 

247

 

 

1

DEFINICION  DEL  DOMINIO  Y  RANGO  DE  UNA  FUNCION,  Y  EJEMPLOS

 

251

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS

 

255

 

 

 

 

 

 

II

 

 DISTANCIA  ENTRE  DOS  PUNTOS  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

256

 

 

 

VIDEOS SOBRE LA DISTANCIA DE DOS PUNTOS

261

 

III

 

LAS  RELACIONES  Y  FUNCIONES  LINEALES  EN  FORMA  ESTANDAR  CON EJEMPLOS

 

262

 

 

 

 

 

 

 

1

LA  ECUACION  LINEAL  EN  FORMA  PENDIENTE  INTERCEPTO  Y  FORMA  PENDIENTE  PUNTO  CON EJEMPLOS  RESUELTOS

 

268

 

 

 

VIDEOS SOBRE LINEAS RECTAS Y FUNCIONES

273

 

 

2

RECTAS  PARALELAS  Y  PERPENDICULARES

273

 

 

 

VIDEOS DE LINEAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

278

 

IV

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

278

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS  FUNCIONES  CUADRATICAS  CON  GRAFICOS

 

282

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  SOBRE  GRAFICOS  CUADRATICOS

 

285

 

 

2

 AUTOEVALUACION

 

289

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES CUADRATICAS

291

 

 

 

 

 

G.

 

 

 

LAS  RELACIONES  CONICAS

292

 

 

 

 

 

 

I

 

LA  CIRCUNFERENCIA  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS  CON  GRAFICOS

295

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS  FUNCIONES  SEMICIRCULARES

297

 

 

 

 

 VIDEOS DE FUNCIONES CIRCULARES

 

302

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

303

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

LA  ELIPSE  Y  EJERCICIOS  RESUELTOS

307

 

 

 

VIDEOS DE LA ELIPSE

315

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

315

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

317

 

 

2    

LAS  LEYES  DE  KEPLER

319

 

 

 

VIDEOS DE LAS LEYES DE KEP´LER

 

321

 

III

 

LA  HIPERBOLA  Y  EJEMPLOS

322

 

 

1

PROBLEMAS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

 

330

 

 

 

 VIDEOS DE LA HIPERBOLA

 

333

 

IV

 

LA  PARABOLA  Y  EJEMPLOS

334

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS  Y  RESUELTOS

 

337

 

 

 

VIDEOS DE LA PARABOLA

 

341

H

 

 

BIBLIOGRAFIA 

 

342

 

 

 



[1] Consultar el libro anterior “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS”  III Edición del IICES  y el   CIMES. Del mismo Autor.  Ediciones 2007.

 

[2] El Lector puede consultar los libros de estadística del IICES  e  CIMES:  ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA  CON EL EXCELL Y SPSS”  “LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD CON APLICACIONES DEL SPSS Y EL STATISTICA”, “ELEMENTOS DEL MUESTREO”, “ESTADÍSTICA APLICADA AL CONTROL DE CALIDAD CON APLICACIONES DEL MINITAB”, “LAS BASES DE LA ECONOMETRIA CON EL SPSS”, “ESTADÍSTICA ECONÓMICA CON MODELOS DE ECONOMETRIA”  y “MODELOS DE ECONOMETRIA Y PROPGRAMACION LINEAL.  Los libros anteriores disponibles en el CD  que contiene 35 libros de matemática, estadística, finanzas, econometría, economía etcétera.   

 

[3] El Lector puede consultar los libros del IICES  y el  CIMES    “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA”  ,  “EL ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS LIMITES” , “EL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”  EL ALGEBRA LINEAL CON EL MATHCAD Y EL EXCELL” Y ELEMENTOS DE LA PROGRAMACION LINEAL Y SUS APLICACIONES A LA MACROECONOMIA DE HONDURAS.  Estos libros disponibles en el CD antes comentado.