10. oct., 2017

GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA con el EQUATION GRAPHER

GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA con el EQUATION GRAPHER

A.                     INTRODUCCION

 El enriquecimiento de esta introducción a la geometría y trigonometría ha sido posible gracias a las ideas obtenidas de Internet y del  libro de  Edwin Moisés  en su obra Geometría y del libro de Macgraw Hill de geometría analitica y geometría plana del Doctor Joseph Kindle.   Otros libros que aportan a la bibliografía son los del IICES  e CIMES consulte los 46 libros del CD  IICES  CIMES sobre textos de Educacion Superior).   El presente libro es posible gracias  a los apuntes de Jose Salomon Perdomo Mejia de la asignatura de Geometría y Trigonometría Plana y analítica desarrollada en la UNAH en M-111 (1977 _  1993).  El texto es un homenaje a los Doctores Salvador Llopis (QED 2008) Ibrahim Pineda (QED 2005) Carlos Oswaldo Perdomo Mejia (QED 1989) Jorge Molina (QED 2010) Ever Cristof (QED 2002)  y de  Benjamin Ustariz que en el 2012 se encuentra en el limite de su existencia.  Todos ellos aportantes de Geometria.

 El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.[1]     

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del universo,  partiendo de los conceptos primitivos: puntos, rectas, planos, hacia la construcción de figuras mas complejas entre ellos los   polígonos, poliedros, curvas,  esferas, superficies, prismas, figuras conicas,  etc.     La geometría es una herramienta  para la solucion de problemas derivados de la industria de la construcción y ciencias exactas del area  de la ingenieria.   Se utiliza para solucionar problemas diversos  y es la justificación teórica de muchos instrumentos entre ellos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de las aplicaciones de la geometría  es el uso de la regla y compás complementados  con modelos computarizados en la elaboración de  micro y macroproyectos dinamicos de la ingenieria global. 

El primer sistema axiomático fue el de Euclides.  Todo lo que se sabe de Euclides se debe a Proclo, el historiador de la matemática griega.

 

Proclo dice que Euclides nació en Grecia, a fines del siglo IV a. C., que estudió en la Academia, el centro de estudios fundado por Platón en el año 380 A. C. y que enseñó en Alejandria.   La obra por la que más se le conoce es “Elementos”, que durante más de  veinte siglos se consideró la base de los conocimientos matemáticos en todo el mundo y que todavía hoy se toma como fundamento de los cursos de Geometría.

Pitágoras sostuvo estudios de teoría de números y desarrolló métodos de demostración geométrica.

 

Entre los resultados importantes en su escuela de Pitágoras aparte del teorema que lleva su nombre, se encuentra la demostración de que el número  (pi) es irracional (Hipasus). Dentro de sus descubrimientos matemáticos sobresalen: la construcción de los sólidos regulares o platónicos y la teoría de las proporciones (Proclo).

Arquimides  Fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos.

 

Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sin fin, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes y muchos más.

 Hipatia Nació en el año 370 en Alejandría.  La primera mujer matemática que menciona la Historia.

 

Hipatia, Hija de Teón de Alejandría, conocido por haber editado y comentado la versión de los Elementos de Euclides que ha llegado hasta la época actual. Hipatia es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes.  Fue lal última de los científicos que trabajó en la Biblioteca

Renato Descartes 1596 –1650

 

filosofo y matematico, un gran genio de la ciencia, en el area del algebra de polinomios presento importantes aportes que llevan su nombre, tambien es el padre de la geometria analitica en donde unifica el algebra con la geometria de Euclides.

El matematico ruso  Nicolai Lobachevsky,  publico en 1829, un artículo con el cual fundó la Geometría No Euclidiana, al mostrar que una geometría consistente podía ser construida en la que no figurase el Quinto Postulado de Euclides.

 

Nicolai Lobachevsky Publicó varios libros, entre los que se encuentran Nuevos fundamentos de Geometría (1835-38), Investigaciones geométricas sobre la Teoría de las Paralelas (1840). Al mismo tiempo que Lobachevsky, Janos Bolyai, matemático húngaro, obtenía resultados similares. Después se descubrió que Gauss se había anticipado a muchos de tales resultados pero se abstuvo de publicarlos.

 

 

Hilbert, Matemático alemán quien estableció el primer conjunto riguroso de axiomas geométricos en Fundamentos de la Geometría (1899). También probó que su sistema era autoconsistente.

       

La axiomatizacion es una herramienta del lenguaje de las ciencias, permite analizar combinaciones de los terminos primitivos e inducir importantes conclusiones.  Prácticamente la axiomatizacion es un modelo de pensamiento cientifico para analizar principios, causas y efectos para la mejor toma de decisiones.  Se parte de tres conceptos primitivos que son el punto, la recta y el plano  y  en las combinaciones de los terminos primitivos se distinguen tres tipos de  proposiciones o enunciados: los axiomas, las definiciones, los teoremas y corolarios.  De esta manera la parte B presenta los conceptos basicos de la geometría y su sistema axiomatico, en la parte C presentamos los poligonos, en la parte D los circulos y los arcos, en la parte E los cuerpos y solidos,  en la parte F los volúmenes.   En el sentido anterior el objetivo de este libro es dotar al estudiante de educacion media y superior, de un  modelo inductivo deductivo sustentado en la geometría plana axiomatizada que complemente y fortalezca sus conocimientos  en las ciencias exactas y sociales.    Se complementa el libro con elementos de geometría analitica, el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos, la linea recta y sus diversas formas de ecuaciones,  las figuras conicas  y las funciones trigonometricas con sus inversas y aplicaciones en la resolucion de triangulos.   Se presentan en ambas partes diversos ejercicios resueltos que respaldan los contenidos axiomaticos del texto.

TABLA DE CONTENIDO DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA CON GEOMETRIA ANALITICA.

 

 

 

 

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

CONCEPTOS BASICOS  DE GEOMETRÍA

3

 

 

 

 

 

 

I

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PUNTO

3

 

 

2

LA RECTA

3

 

 

3

EL PLANO

4

 

 

 

 

 

 

II

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

5

 

 

 

 

 

 

 

1

LA PROPOSICION

5

 

 

2

LOS AXIOMAS

5

 

 

3

EL TEOREMA

6

 

 

4

EL COROLARIO

6

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS SEGMENTOS

8

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS:

8

 

 

2

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

9

 

 

3

LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

4

PROPIEDADES DE LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

5

MULTIPLICACION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

11

 

 

6

LEY DE COMPOSICION EXTERNA

13

 

 

7

DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

13

 

 

8

PROPIEDADES DE LA DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO  NATURAL

13

 

 

 

 

 

 

IV

 

PRINCIPIOS DE LA GEOMETRIA AXIOMATICA

14

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTOS BASICOS

14

 

 

2

CONJUNTOS CONVEXOS

19

 

 

 

 

 

 

V

 

LOS  ANGULOS

22

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

25

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

26

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

5

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

28

 

 

 6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

31

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

31

 

 

8

DIFERENCIA DE ANGULOS

34

 

 

9

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

35

 

 

10

OTRAS DEFINICIONES, TEOREMAS Y EJEMPLOS

37

 

 

11

PROBLEMAS RESUELTOS

45

 

 

12

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS  Y SUS RESPUESTAS

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LOS POLIGONOS

53

 

 

 

 

 

 

I

 

LOS TRIANGULOS

55

 

II

 

CONGRUENCIA  DE TRIANGULOS

58

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO

58

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

61

 

 

 

 

 

 

III

 

SEMEJANZA  Y  LA  IGUALDAD DE TRIANGULOS

66

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO   

66

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS Y  COMPLEMENTARIOS

68

 

 

3

PROBLEMAS  SUPLEMENTARIOS Y SUS RESPUESTAS

74

 

 

4

PROPIEDADES DE  LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

78

 

 

5

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE  TRIANGULOS

 

 

 

6

LA IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS CUADRILATEROS

83

 

 

 

 

 

 

V

 

PERÍMETRO DE POLÍGONOS

86

 

 

 

 

 

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LOS CUADRILATEROS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS CON RESPUESTAS

87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

CIRCULOS Y ARCOS.

89

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES

89

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ARCO

98

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

99

 

IV

 

AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

101

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIONES

101

 

 

 

 

 

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y SUPLEMENTARIOS

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

CUERPOS SÓLIDOS

109

 

 

 

 

 

 

I

 

PLANOS DEL ESPACIO

109

 

II

 

PRISMAS Y CILINDROS

110

 

III

 

PIRAMIDES Y CONOS

114

 

IV

 

ESFERAS

116

 

 

 

 

 

F

 

 

VOLUMENES

117

 

 

 

 

 

 

I

 

COMENTARIOS

117

 

II

 

FORMULAS PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

117

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS

118

 

IV

 

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

INTRODUCCION A LAS RELACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

130

 

 

 

 

 

 

I

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

130

 

II

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

131

 

III

 

LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES   LINEALES Y CUADRATICAS.

132

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACIONES  Y  FUNCIONES:  PROBLEMAS RESUELTOS

132

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

137

 

 

 

 

 

 

IV

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

138

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA DISTANCIA DE PUNTOS

138

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

141

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES FORMA ESTANDAR

142

 

 

 

 

 

 

 

1

LA ECUACION LINEAL  FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

146

 

 

2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

149

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

153

 

 

 

 

 

 

VI

 

LAS FUNCIONES  CUADRATICAS Y EJEMPLOS  GRAFICOS

 

155

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LAS  RELACIONES CONICAS

160

 

 

 

 

 

 

I

 

LA CIRCUNFERENCIA

162

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES SEMICIRCULARES

163

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

166

 

 

 

 

 

 

II

 

LA   ELIPSE Y EJERCICIOS RESUELTOS 

170

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

176

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

177

 

 

3

LAS LEYES DE KEPLER

178

 

 

 

 

 

 

III

 

LA HIPERBOLA  CON  EJEMPLOS

179

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LA HIPERBOLA

185

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA PARABOLA  CON   EJEMPLOS

188

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

191

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

194

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

LOS ANGULOS Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

195

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y  ÁNGULOS

195

 

II

 

FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

199

 

III

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

200

 

IV

 

COFUNCIONES

202

 

V

 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

202

 

VI

 

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

203

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION SENO 

203

 

 

2

LA FUNCION ARCSENO

204

 

 

3

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

206

 

 

4

LA FUNCION COSENO

207

 

 

5

LA FUNCION  ARCCOSENO

208

 

 

6

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

209

 

 

7

LA FUNCION TANGENTE

210

 

 

 8

LA FUNCION  ARCTANGENTE

211

 

 

9

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

212

 

 

10

EJERCICIOS DE EVALUACION

214

 

 

 

 

 

 

VII

 

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ENROLLAMIENTO

215

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS  SENOS

216

 

 

2

LEY DE LOS  COSENOS

216

 

 

3

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

217

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIANGULOS    

217

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

224

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA LEY DEL COSENO

229

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE TEOREMA DE LA LEY DEL SENO

234

 

 

 

 

 

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE RESOLUCION DE TRIÁNGULOS    RECTÁNGULOS

238

 

XI

 

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

245

 

 

 

 

 

I

 

 

BIBLIOGRAFIA

248