LOGICA, ALGEBRA DE CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMERICOS

A.               INTRODUCCION

 

Esta es la tercera edición de “LOGICA Y SISTEMAS NUMERICOS”  con recursos del IICES  e  CIMES.  La edición anterior ha sido posible gracias al INTEC “Instituto Internacional Tecnológico” que conserva los derechos de explotación de esa edición.  En esta edición se amplia la historia del origen y fortalecimiento de la lógica matemática, se hace  mayor abstracción de la simbología de la Lógica, se mejora el modulo sobre la transformación de un sistema binario al sistema decimal y viceversa.  Además se amplían los números naturales sobre los comentarios de los axiomas de Peano y el principio de inducción matemática, en la teoría de conjuntos se hace una mejor interrelación entre la lógica y las operaciones entre conjuntos ampliándose los conceptos de los cuantificadores  se mejora los análisis sobre el conjunto de los números racionales e irracionales y los números reales y  se le añade  los aspectos generales de los  números complejos.

 

La lógica matemática, o teoría del algebra de proposiciones se constituye en un lenguaje que permite la construcción matemática de la teoría de conjuntos generalizada en sus diversas aplicaciones.  Proporciona además  las bases del análisis matemático y topológico  en las diversas demostraciones de teoremas y corolarios proporcionando estructuras analíticas y cientificas para las  ciencias  sociales y exactas.

 

A nivel de  la programación de computadoras, el algebra de proposiciones y el algebra de conjuntos  proporciona las bases del álgebra de boole que permite la estructuración de la programación de computadoras.   Otra aplicación de la lógica matemática y teoría de conjuntos en lo referido al algebra booleana  radica  en las aplicaciones  en el algebra de los circuitos electrónicos.

 

La simbología de la filosofía matemática dentro de la teoría de conjuntos proporciona las bases de la estadística en sus aplicaciones de la teoría del muestreo, el control estadístico de la calidad y teoría de la toma de decisiones en base a modelos de predicción.

 

El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano y científico.

 

Lo importante del tema  es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia,  siendo la lógica matemática la  encargada del estudio del algebra de proposiciones que proporciona la base de las construcciones de los argumentos validos  y estructuras lógicas equivalentes.   Hoy en día, la lógica proposicional, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.   Además, aprender matemática, física y química "es muy difícil"; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real".   Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lógica matemática ", él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva . Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación,  física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y  utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

En el sentido antes descrito, en la parte B  el libro contiene los fundamentos de la logica matemática: proposiciones y tablas de verdad, los conectores lógicos, las leyes de la logica de proposiciones, los circuitos booleanos, las funciones proposicionales y cuantificadores,  argumentos e implicación lógica. 

 

En la parte C se cubre la teoría de conjuntos: definición de conjuntos, operaciones de conjuntos, relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional.  En la parte D cubrimos los sistema  numéricos: introducción a la numeración,  en la parte E  estudiamos el sistema binario y el sistema decimal, en la parte F analizamos el conjunto de los números naturales,  sus propiedades y representación en la recta numérica, en la parte G cubrimos el conjunto de los números enteros y sus propiedades y representación grafica en la recta.  Los números racionales, los decimales periódicos, sus propiedades   y representación en la recta numérica.  En la parte J estudiamos los números irracionales  o decimales no periodicos.  Los números reales y sus propiedades, valor absoluto y sus propiedades, los intervalos y los sistemas de desigualdades los estudiamos en la parte K.  Los números complejos y sus propiedades los cubrimos en la parte L.  La bibliografía del IICES e IIMES  en parte M.

 

Agradecemos a Dios Padre nuestro Creador, por habernos permitido la elaboración de los 35 libros del IICES e IIMES, pidiéndole nos de la oportunidad de elaborar o escribir otras libros de matemática, economía y finanzas.   

 

 

I      ORIGEN DE LA LOGICA MATEMATICA Y SU FORTALECIMIENTO

 

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

 

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

 

Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.

 

Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.

 

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

 

Euclides matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

 

La obra de Apolonio de Perga  sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana.

 

La ciencia matemática  ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500dC al 1800 dC.

 

René Descartes filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

 

Isacc Newton   1642-1727.   Se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural (1686).

 

Gottfried W. Leibniz   filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici .

 

Georg Wilhelm Friedrich Hegel   Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de la lógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

 

Nikolai I. Lobachevsky   matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky  lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B      LOS FUNDAMENTOS DE LA  LOGICA MATEMATICA  

 La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

 

TABLA DE CONTENIDO   “LOGICA MATEMATICA Y  SISTEMAS NUMERICOS”

 

 

 

 

 

 

                                      TEMAS

Pagina

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

I     

 

ORIGEN DE LA LOGICA MATEMATICA Y SU FORTALECIMIENTO

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

LOS FUNDAMENTOS DE LA  LOGICA MATEMATICA  

6

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPOSICIONES   Y   TABLAS DE VERDAD

6

 

 

 

 

 

 

 

1

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

7

 

 

2

PROPOSICIONES  ABIERTAS

7

 

 

3

PROPOSICIONES COMPUESTAS

7

 

 

 

 

 

 

II

 

LOS CONECTORES LOGICOS

8

 

 

 

 

 

 

 

1

LA CONJUNCION

8

 

 

2

LA   DISYUNCION

9

 

 

3

LA  NEGACION DE PROPOSICIONES

10

 

 

4

PROBLEMAS RESUELTOS

11

 

 

 

 

 

 

III

 

IMPLICACION O CONDICIONAL, p → q

18

 

IV

 

BICONDICIONAL, p Û q

20

 

V

 

ENUNCIADOS CONDICIONALES Y VARIACIONES

21

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS

22

 

VII

 

LA DIFERENCIA SIMETRICA.

28

 

VIII

 

TAUTOLOGIA CONTRADICCION Y CONTINGENCIA

29

 

IX

 

ALGUNAS REGLAS DE INFERENCIA

31

 

X

 

EQUIVALENCIA LÓGICA

32

 

XI

 

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

33

 

 

 

 

 

 

 

1

IDEMPOTENCIA

33

 

 

2

CONMUTATIVIDAD

33

 

 

3

ASOCIATIVIDAD

33

 

 

4

DISTRIBUTIVAS

33

 

 

5

LEYES DE MORGAN

34

 

 

6

LEYES DE COMPLEMENTACION

34

 

 

 

 

 

 

XII

 

LEYES DE LA LOGICA DE PROPOSICIONES  (RESUMEN) 

35

 

 

 

 

 

 

XIII

 

CIRCUITOS LOGICOS  O  BOOLEANOS

39

 

 

 

 

 

 

 

1

LA CONJUNCION

39

 

 

2

LA DISYUNCION

40

 

 

3

LA  IMPLICACION

40

 

 

4

DIFERENCIA SIMETRICA

40

 

 

 

 

 

 

XIV

 

FUNCIONES PROPOSICIONALES   Y  CUANTIFICADORES.

41

 

 

 

 

 

 

 

1

FUNCION PROPOSICIONAL

41

 

 

2

LOS  CUANTIFICADORES

42

 

 

3

COMPLEMENTACION DE LOS CUANTIFICADORES

43

 

 

 

 

 

 

XV

 

ARGUMENTOS E IMPLICACION  LOGICA

43

 

 

 

 

 

 

 

1

ARGUMENTOS

43

 

 

2

IMPLICACION LOGICA

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

TEORIA DE CONJUNTOS

46

 

 

 

 

 

 

I

 

 CONJUNTO

46

 

 

 

 

 

 

 

1

TAMAÑO  O  CARDINAL DE UN  CONJUNTO

47

 

 

2

PERTENENCIA   E   INCLUSION

50

 

 

3

CONJUNTO UNIVERSO  O  POBLACION

52

 

 

 

 

 

 

II

 

OPERACIONES DE CONJUNTOS

53

 

 

 

 

 

 

 

1

LA UNION DE CONJUNTOS

53

 

 

2

  LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

55

 

 

3

CONJUNTOS DISJUNTOS

57

 

 

4

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

58

 

 

5

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS 

58

 

 

6

DIFERENCIA SIMETRICA

59

 

 

7

EJERCICIOS  RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

60

 

 

 

 

 

 

III

 

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

61

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

61

 

 

2

EL ALGEBRA BOOLEANA

62

 

 

 

 

 

 

IV

 

   PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

LOS SISTEMAS NUMERICOS

77

 

 

 

 

 

 

I

 

INTRODUCCION A LA NUMERACIÓN

77

 

 

 

 

 

 

 

1

EL SISTEMA DE NUMERACION CHINO

77

 

 

2

EL SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO

78

 

 

3

  EL SISTEMA DE NUMERACION BABILONICO

79

 

 

4

EL SISTEMA DE NUMERACION MAYA

80

 

 

5

EL SISTEMA NUMERICO ROMANO

85

 

 

6

EL SISTEMA NUMERICO ARABIGO

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

EL  SISTEMA  DECIMAL Y EL SISTEMA BINARIO

89

 

 

 

 

 

 

I

 

SISTEMA DECIMAL  

89

 

II

 

SISTEMA BINARIO

94

 

III

 

OPERACIONES CON LOS NUMEROS BINARIOS

 

 

 

 

 

 

 

 

1

CAMBIOS DE BASE DE NUMERACION 

98

 

 

2

CONVERSION DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO BINARIO

100

 

 

3

FORMATOS BINARIOS

102

 

 

4

OPERACIONES EN EL SISTEMA BINARIO

102

 

 

5

MEDIDAS DE ALMACENAMIENTO DE LA INFORMACION

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

   CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES   ¥  Y   ¥*

107

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPIEDADES DEL CONJUNTO    ¥*

108

 

II

 

PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

109

 

III

 

RELACION DE ORDEN EN  ù  y   ù*

110

 

 

 

 

 

 

 

1

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

111

 

 

2

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

112

 

 

3

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES

112

 

 

4

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN EN LOS NATURALES

113

 

 

5

AUTOEVALUACION

113

 

 

 

 

 

 

IV

 

REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO   ù   y  ù*

114

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

117

 

VI

 

LAS OPERACIONES EN LOS NUMEROS NATURALES Y EL ORDENAMIENTO

118

 

VII

 

OPERATORIA  EN  LOS NUMEROS  NATURALES    ¥  Y  ¥*

118

 

 

 

 

 

 

 

1

   ADICION O SUMA EN LOS NUMEROS NATURALES

118

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

119

 

 

3

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NATURALES

 

120

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

121

 

 

5

SUSTRACCION O RESTA DE NUMEROS NATURALES

122

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

123

 

 

7

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

123

 

 

8

  PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES

125

 

 

9

DIVISION DE NÚMEROS NATURALES

128

 

 

10

OPERACIONES COMBINADAS. JERARQUIA DE LAS OPERACIONES  BÁSICAS

129

 

 

11

EJERCICIOS PROPUESTOS

129

 

 

12

OPERACIONES COMBINADAS CON SIGNOS DE AGRUPACION

130

 

 

13

AUTOEVALUACION   DE LA  UNIDAD

132

 

 

 

 

 

 

VIII

 

LEYES DE LOS EXPONENTES, RAIZ CUADRADA  Y DIVISORES EN LOS NUMEROS NATURALES           

135

 

 

 

 

 

 

 

1

POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES

135

 

 

2

LEYES DE EXPONENTES

136

 

 

3

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Y DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN  SUS FACTORES

138

 

 

4

MULTIPLOS DE UN NUMERO NATURAL

141

 

 

 5

DIVISORES DE UN NUMERO NATURAL

141

 

 

6

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

142

 

 

7

NUMEROS PRIMOS

142

 

 

8

NUMEROS COMPUESTOS

143

 

 

9

DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS

143

 

 

10

MAXIMO COMUN DIVISOR

144

 

 

11

MÍNIMO COMUN MULTIPLO

146

 

 

12

AUTOEVALUACION   DEL MODULO

147

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

150

 

 

 

 

 

 

I

 

EXPRESION GENERAL DE LOS NUMEROS ENTEROS

150

 

II

 

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS ENTEROS

151

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

152

 

 

 

 

 

 

III

 

ORDENAMIENTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

152

 

 

 

 

 

 

 

1

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

153

 

 

2

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

154

 

 

3

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS ENTEROS

154

 

 

4

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN   ≥   EN LOS ENTEROS

154

 

 

 

 

 

 

IV

 

OPERACIONES CON LOS  ENTEROS

155

 

 

 

 

 

 

 

1

REGLAS PARA SUMAR ENTEROS

155

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

155

 

 

3

NUMEROS OPUESTOS

156

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

156

 

 

5

PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS

157

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

159

 

 

7

RESTA O SUSTRACCION DE ENTEROS

159

 

 

8

REPRESENTACION GRAFICA DE LA RESTA DE DOS ENTEROS

160

 

 

9

  EJERCICIOS PROPUESTOS

161

 

 

10

LA MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

161

 

 

11

LEY DE LOS SIGNOS EN LA MULTIPLICACION

162

 

 

12

EJERCICIOS RESUELTOS

162

 

 

13

MULTIPLICACION DE TRES O MAS NUMEROS ENTEROS

163

 

 

14

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS

164

 

 

15

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 1

165

 

 

16

EJERCICIOS  RESUELTOS  DE LA PROPIEDAD 2

165

 

 

17

EJERCICIOS  PROPUESTOS  DE LA PROPIEDAD 3

167

 

 

18

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA

167

 

 

19

EJERCICIOS PROPUESTOS

169

 

 

20

OTRAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

169

 

 

 

 

 

 

V

 

POTENCIACION DE ENTEROS

169

 

 

 

 

 

 

 

1

LEYES DE LOS EXPONENTES

170

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA LEY  1

170

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS  PROPIEDAD 2

172

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS PROPIEDAD 3

173

 

 

5

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA PROPIEDAD 4

174

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 5

175

 

 

 

 

 

 

VI

 

NOTACION CIENTIFICA

175

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

177

 

 

 

 

 

 

VII

 

AUTOEVALUACIÓN

178

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

182

 

 

 

 

 

 

I

 

FRACCIONES COMUNES

183

 

 

 

 

 

 

II

 

CONSTRUCCIÓN DE LOS NUMEROS RACIONALES

184

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

186

 

 

 

 

 

 

III

 

LAS FRACCIONES Y LA RECTA NUMERICA

190

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

191

 

 

 

 

 

 

IV

 

OPERACIONES CON FRACCIONES

192

 

 

 

 

 

 

 

1

ADICION DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR

192

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

193

 

 

3

SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

196

 

 

4

EJERCICIOS RESUELTOS

197

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

198

 

 

 

 

 

 

V

 

  EL PRODUCTO EN NUMEROS RACIONALES

199

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

200

 

 

2

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS RACIONALES

200

 

 

 

 

 

 

VI

 

EL COCIENTE DE NUMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS

203

 

VII

 

AUTOEVALUACIÓN

203

 

VIII

 

LOS NUMEROS RACIONALES Y LOS DECIMALES PERIODICOS

206

 

 

 

 

 

 

 

1

 SUMA Y RESTA DE NUMEROS DECIMALES

207

 

 

2

PRODUCTO DE FRACCIONES DECIMALES

208

 

 

3

DIVISION DE DECIMALES

209

 

 

4

OTRA FORMA COMO EFECTUAR UNA DIVISIÓN

209

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

211

 

 

6

CONVERSION DE FRACCIONES ORDINARIAS EN DECIMALES Y VICEVERSA

211

 

 

7

UN TEOREMA BASICO: DECIMALES PUROS Y DECIMALES MIXTOS

213

 

 

11

AUTOEVALUACION

217

 

 

12

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

218

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

LOS RADICALES  Y  EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES 

219

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS GENERALES DE LOS RADICALES

219

 

II

 

LEYES DE LOS RADICALES

221

 

III

 

RADICALES SEMEJANTES Y OTROS RADICALES

221

 

 

 

 

 

 

 

1

OPERACIONES CON RADICALES

221

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

223

 

 

3

LA SUMA DE RADICALES SEMEJANTES

226

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

228

 

 

5

PRODUCTO DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

228

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

230

 

 

7

LA DIVISION DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

231

 

 

8

EJERCICIOS PROPUESTOS

232

 

 

9

RACIONALIZACION DE LOS DENOMINADORES

234

 

 

10

RESUMEN DE LOS RADICALES

234

 

 

11

EJERCICIOS RESUELTOS

237

 

 

12

EJERCICIOS PROPUESTOS

239

 

 

 

 

 

 

IV

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

241

 

V

 

AUTOEVALUACIÓN

244

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES  ¡

247

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA SUMA 

248

 

II

 

PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN MULTIPLICACION  

248

 

III

 

LEYES DE LOS EXPONENTES 

250

 

IV

 

LOS INTERVALOS DE NUMEROS REALES

253

 

V

 

EL  VALOR ABSOLUTO

254

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

276

 

 

 

 

 

 

I

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA: PROBLEMAS RESUELTOS

277

 

II

 

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

280

 

III

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

280

 

IV

 

LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS: EJERCICIOS RESUELTOS

283

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

286

 

 

 

 

 

M

 

 

BIBLIOGRAFIA

287

 

 

 

GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA con el EQUATION GRAPHER

A.                     INTRODUCCION

 El enriquecimiento de esta introducción a la geometría y trigonometría ha sido posible gracias a las ideas obtenidas de Internet y del  libro de  Edwin Moisés  en su obra Geometría y del libro de Macgraw Hill de geometría analitica y geometría plana del Doctor Joseph Kindle.   Otros libros que aportan a la bibliografía son los del IICES  e CIMES consulte los 46 libros del CD  IICES  CIMES sobre textos de Educacion Superior).   El presente libro es posible gracias  a los apuntes de Jose Salomon Perdomo Mejia de la asignatura de Geometría y Trigonometría Plana y analítica desarrollada en la UNAH en M-111 (1977 _  1993).  El texto es un homenaje a los Doctores Salvador Llopis (QED 2008) Ibrahim Pineda (QED 2005) Carlos Oswaldo Perdomo Mejia (QED 1989) Jorge Molina (QED 2010) Ever Cristof (QED 2002)  y de  Benjamin Ustariz que en el 2012 se encuentra en el limite de su existencia.  Todos ellos aportantes de Geometria.

 El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.[1]     

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del universo,  partiendo de los conceptos primitivos: puntos, rectas, planos, hacia la construcción de figuras mas complejas entre ellos los   polígonos, poliedros, curvas,  esferas, superficies, prismas, figuras conicas,  etc.     La geometría es una herramienta  para la solucion de problemas derivados de la industria de la construcción y ciencias exactas del area  de la ingenieria.   Se utiliza para solucionar problemas diversos  y es la justificación teórica de muchos instrumentos entre ellos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de las aplicaciones de la geometría  es el uso de la regla y compás complementados  con modelos computarizados en la elaboración de  micro y macroproyectos dinamicos de la ingenieria global. 

El primer sistema axiomático fue el de Euclides.  Todo lo que se sabe de Euclides se debe a Proclo, el historiador de la matemática griega.

 

Proclo dice que Euclides nació en Grecia, a fines del siglo IV a. C., que estudió en la Academia, el centro de estudios fundado por Platón en el año 380 A. C. y que enseñó en Alejandria.   La obra por la que más se le conoce es “Elementos”, que durante más de  veinte siglos se consideró la base de los conocimientos matemáticos en todo el mundo y que todavía hoy se toma como fundamento de los cursos de Geometría.

Pitágoras sostuvo estudios de teoría de números y desarrolló métodos de demostración geométrica.

 

Entre los resultados importantes en su escuela de Pitágoras aparte del teorema que lleva su nombre, se encuentra la demostración de que el número  (pi) es irracional (Hipasus). Dentro de sus descubrimientos matemáticos sobresalen: la construcción de los sólidos regulares o platónicos y la teoría de las proporciones (Proclo).

Arquimides  Fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos.

 

Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sin fin, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes y muchos más.

 Hipatia Nació en el año 370 en Alejandría.  La primera mujer matemática que menciona la Historia.

 

Hipatia, Hija de Teón de Alejandría, conocido por haber editado y comentado la versión de los Elementos de Euclides que ha llegado hasta la época actual. Hipatia es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes.  Fue lal última de los científicos que trabajó en la Biblioteca

Renato Descartes 1596 –1650

 

filosofo y matematico, un gran genio de la ciencia, en el area del algebra de polinomios presento importantes aportes que llevan su nombre, tambien es el padre de la geometria analitica en donde unifica el algebra con la geometria de Euclides.

El matematico ruso  Nicolai Lobachevsky,  publico en 1829, un artículo con el cual fundó la Geometría No Euclidiana, al mostrar que una geometría consistente podía ser construida en la que no figurase el Quinto Postulado de Euclides.

 

Nicolai Lobachevsky Publicó varios libros, entre los que se encuentran Nuevos fundamentos de Geometría (1835-38), Investigaciones geométricas sobre la Teoría de las Paralelas (1840). Al mismo tiempo que Lobachevsky, Janos Bolyai, matemático húngaro, obtenía resultados similares. Después se descubrió que Gauss se había anticipado a muchos de tales resultados pero se abstuvo de publicarlos.

 

 

Hilbert, Matemático alemán quien estableció el primer conjunto riguroso de axiomas geométricos en Fundamentos de la Geometría (1899). También probó que su sistema era autoconsistente.

       

La axiomatizacion es una herramienta del lenguaje de las ciencias, permite analizar combinaciones de los terminos primitivos e inducir importantes conclusiones.  Prácticamente la axiomatizacion es un modelo de pensamiento cientifico para analizar principios, causas y efectos para la mejor toma de decisiones.  Se parte de tres conceptos primitivos que son el punto, la recta y el plano  y  en las combinaciones de los terminos primitivos se distinguen tres tipos de  proposiciones o enunciados: los axiomas, las definiciones, los teoremas y corolarios.  De esta manera la parte B presenta los conceptos basicos de la geometría y su sistema axiomatico, en la parte C presentamos los poligonos, en la parte D los circulos y los arcos, en la parte E los cuerpos y solidos,  en la parte F los volúmenes.   En el sentido anterior el objetivo de este libro es dotar al estudiante de educacion media y superior, de un  modelo inductivo deductivo sustentado en la geometría plana axiomatizada que complemente y fortalezca sus conocimientos  en las ciencias exactas y sociales.    Se complementa el libro con elementos de geometría analitica, el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos, la linea recta y sus diversas formas de ecuaciones,  las figuras conicas  y las funciones trigonometricas con sus inversas y aplicaciones en la resolucion de triangulos.   Se presentan en ambas partes diversos ejercicios resueltos que respaldan los contenidos axiomaticos del texto.

TABLA DE CONTENIDO DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA CON GEOMETRIA ANALITICA.

 

 

 

 

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

CONCEPTOS BASICOS  DE GEOMETRÍA

3

 

 

 

 

 

 

I

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PUNTO

3

 

 

2

LA RECTA

3

 

 

3

EL PLANO

4

 

 

 

 

 

 

II

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

5

 

 

 

 

 

 

 

1

LA PROPOSICION

5

 

 

2

LOS AXIOMAS

5

 

 

3

EL TEOREMA

6

 

 

4

EL COROLARIO

6

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS SEGMENTOS

8

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS:

8

 

 

2

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

9

 

 

3

LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

4

PROPIEDADES DE LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

5

MULTIPLICACION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

11

 

 

6

LEY DE COMPOSICION EXTERNA

13

 

 

7

DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

13

 

 

8

PROPIEDADES DE LA DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO  NATURAL

13

 

 

 

 

 

 

IV

 

PRINCIPIOS DE LA GEOMETRIA AXIOMATICA

14

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTOS BASICOS

14

 

 

2

CONJUNTOS CONVEXOS

19

 

 

 

 

 

 

V

 

LOS  ANGULOS

22

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

25

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

26

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

5

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

28

 

 

 6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

31

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

31

 

 

8

DIFERENCIA DE ANGULOS

34

 

 

9

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

35

 

 

10

OTRAS DEFINICIONES, TEOREMAS Y EJEMPLOS

37

 

 

11

PROBLEMAS RESUELTOS

45

 

 

12

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS  Y SUS RESPUESTAS

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LOS POLIGONOS

53

 

 

 

 

 

 

I

 

LOS TRIANGULOS

55

 

II

 

CONGRUENCIA  DE TRIANGULOS

58

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO

58

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

61

 

 

 

 

 

 

III

 

SEMEJANZA  Y  LA  IGUALDAD DE TRIANGULOS

66

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO   

66

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS Y  COMPLEMENTARIOS

68

 

 

3

PROBLEMAS  SUPLEMENTARIOS Y SUS RESPUESTAS

74

 

 

4

PROPIEDADES DE  LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

78

 

 

5

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE  TRIANGULOS

 

 

 

6

LA IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS CUADRILATEROS

83

 

 

 

 

 

 

V

 

PERÍMETRO DE POLÍGONOS

86

 

 

 

 

 

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LOS CUADRILATEROS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS CON RESPUESTAS

87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

CIRCULOS Y ARCOS.

89

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES

89

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ARCO

98

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

99

 

IV

 

AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

101

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIONES

101

 

 

 

 

 

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y SUPLEMENTARIOS

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

CUERPOS SÓLIDOS

109

 

 

 

 

 

 

I

 

PLANOS DEL ESPACIO

109

 

II

 

PRISMAS Y CILINDROS

110

 

III

 

PIRAMIDES Y CONOS

114

 

IV

 

ESFERAS

116

 

 

 

 

 

F

 

 

VOLUMENES

117

 

 

 

 

 

 

I

 

COMENTARIOS

117

 

II

 

FORMULAS PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

117

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS

118

 

IV

 

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

INTRODUCCION A LAS RELACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

130

 

 

 

 

 

 

I

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

130

 

II

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

131

 

III

 

LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES   LINEALES Y CUADRATICAS.

132

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACIONES  Y  FUNCIONES:  PROBLEMAS RESUELTOS

132

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

137

 

 

 

 

 

 

IV

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

138

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA DISTANCIA DE PUNTOS

138

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

141

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES FORMA ESTANDAR

142

 

 

 

 

 

 

 

1

LA ECUACION LINEAL  FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

146

 

 

2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

149

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

153

 

 

 

 

 

 

VI

 

LAS FUNCIONES  CUADRATICAS Y EJEMPLOS  GRAFICOS

 

155

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LAS  RELACIONES CONICAS

160

 

 

 

 

 

 

I

 

LA CIRCUNFERENCIA

162

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES SEMICIRCULARES

163

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

166

 

 

 

 

 

 

II

 

LA   ELIPSE Y EJERCICIOS RESUELTOS 

170

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

176

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

177

 

 

3

LAS LEYES DE KEPLER

178

 

 

 

 

 

 

III

 

LA HIPERBOLA  CON  EJEMPLOS

179

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LA HIPERBOLA

185

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA PARABOLA  CON   EJEMPLOS

188

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

191

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

194

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

LOS ANGULOS Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

195

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y  ÁNGULOS

195

 

II

 

FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

199

 

III

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

200

 

IV

 

COFUNCIONES

202

 

V

 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

202

 

VI

 

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

203

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION SENO 

203

 

 

2

LA FUNCION ARCSENO

204

 

 

3

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

206

 

 

4

LA FUNCION COSENO

207

 

 

5

LA FUNCION  ARCCOSENO

208

 

 

6

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

209

 

 

7

LA FUNCION TANGENTE

210

 

 

 8

LA FUNCION  ARCTANGENTE

211

 

 

9

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

212

 

 

10

EJERCICIOS DE EVALUACION

214

 

 

 

 

 

 

VII

 

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ENROLLAMIENTO

215

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS  SENOS

216

 

 

2

LEY DE LOS  COSENOS

216

 

 

3

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

217

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIANGULOS    

217

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

224

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA LEY DEL COSENO

229

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE TEOREMA DE LA LEY DEL SENO

234

 

 

 

 

 

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE RESOLUCION DE TRIÁNGULOS    RECTÁNGULOS

238

 

XI

 

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

245

 

 

 

 

 

I

 

 

BIBLIOGRAFIA

248

 

 

 



[1]Galileo Galilei.

ALGEBRA DE MATRICES Y VECTORES con el EXCEL, MATHCAD Y EQUATION GRAPHER

 

A.        INTRODUCCIÓN

 Este es un libro de nivelación matemática para los aspirantes de  la Maestría en “INGENIERIA ESTADISTICA EN LA ESPECIALIDAD DE CONFIABILIDAD Y RIESGO” y aspirantes a la Maestría en “INGENIERIA ECONOMICA EN LA ESPECIALIDAD DE FINANZAS Y RIESGOS”.   Sin embargo puede ser utilizado en la asignatura de Algebra Lineal I para los estudiantes de ingeniería y ciencias económicas administrativas y contables.   Las facilidades que proporciona la tecnología del nuevo milenio para la redacción de libros electrónicos son evidentes  y  este texto ha sido posible gracias al software matemático Mathcad que proporciona soluciones a problemas matemáticos de diferentes niveles.  El Equation Grapher facilita las imágenes lineales del presente texto, y se incluyen las hojas electrónicas Excell y Quatro Pro.     La  tecnología de las computadoras evoluciona más rápidamente que los diseños curriculares de las asignaturas de matemática.  Pareciera que las reformas curriculares no son suficientes ante el desarrollo continuo de los diversos software aplicados.

En esta perspectiva extensionista, todos los temas que se cubren en el presente texto presentan enlaces con videos de Matrices y Vectores seleccionados en YOUTUBE, con el objetivo de facilitar el proceso de nivelación matemática de la Ingeniería Estadística.

http://www.investigaciones-matematicas.com/433553667/category/949397/tienda-virtual

Aplicada a la Confiabilidad y Riesgo.   Es decir, los libros de esta especialidad permite una fácil interacción con el Lector a través de los hipervínculos del índice con el uso de videos.Es necesario actualizar el sistema educativo con las recientes innovaciones de software de matemática aplicada y de manera permanente.   Este texto representa un curso básico de Algebra Lineal con aplicaciones de los software y videos antes comentados.  

 De la manera anterior, en la parte B  presentamos el álgebra de matrices (operaciones entre matrices) aplicando hojas electrónicas y el Mathcad que son programas de computación que facilitan el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática aplicada.   Se presenta el álgebra de matrices y se generalizan conceptos de los espacios vectoriales y otras estructuras que conforman los grupos y anillos.

 En las parte  C  presentamos  diversos métodos para encontrar la inversa de una matriz, y sus propiedades  aplicando hojas electrónicas  y el software mathcad.    Se involucran la transpuesta de matrices,  matriz de cofactores, matrices adjuntas  mesclando con las operaciones descritas en la parte  B.      Una vez desarrolladas las propiedades y teoremas de las operaciones  entre matrices y otros espacios vectoriales se desarrollan los diversos métodos para encontrar las matrices inversas ya sea mediante la adjunta y determinantes de matrices como los métodos de  Gauss y Gauss Jordán.

 Seguidamente en la parte D  se desarrollan los diversos metodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales en las reglas diversas ya sean por la regla de krammer, o aplicando los metodos de Gauss y Gauss Jordan.   En las aplicaciones del algebra de matrices se realizan con el EXCELL y el MatCad con gráficos en tres dimensiones.

 En la parte  E  se estudian los vectores en R2 en lo relacionado a espacios euclidianos, y a nivel básico se analiza el concepto de distancia en la geometría lineal formal cubriendo la demostración de teoremas respecto a las relaciones lineales, paralelismo y perpendicularidad. Se estudia  la distancia y  norma de vectores, incluyéndose las operaciones y sus propiedades con apoyo de imágenes.  En esta parte se estudia el producto punto o producto interior euclidiano, y sus cosenos directores,

 En la parte F se estudia los números complejos y sus idénticas estructuras con el espacio vectorial R2 , se analiza las operaciones de los números complejos y sus propiedades como un espacio vectorial, se cubre el producto de números complejos y la división con sus propiedades y la forma trigonométrica de los números complejos  en la estructura algebraica de R2.  En la parte G, se cubre de manera gráfica los conceptos de primal y dual de la programación lineal y el teorema fundamental de la programación lineal (problemas de punto de silla) que en sus soluciones se aplica el método de Gauss Jordan. En esta parte  final  H  se cubre la bibliografía.

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 TABLA DE CONTENIDO DE “ALGEBRA DE MATRICES Y VECTORES”

 

 

 

 

 

A

 

 

 

INTRODUCCIÓN

 

 

 

 

 

B

 

 

 

ALGEBRA DE MATRICES

 

 

 

 

 

 

I

 

 

CONCEPTOS GENERALES

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA SUMA DE MATRICES DE DOS FILAS Y DOS COLUMNAS

 

 

2

 

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE MATRICES DE 2X2

 

 

3

 

 EL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

 

 

4

 

EL ELEMENTO SIMETRICO RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES DE 2X2

 

 

5

 

 LA PROPIEDAD COMMUTATIVA DE LA SUMA DE MATRICES

 

 

6

 

VIDEOS  DE  SUMA  DE  MATRICES

 

 

 

 

 

 

II

 

 

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

 

 

 

 

 

 

 

1

 

PROPIEDAD 1

 

 

2

 

PROPIEDAD 2    

 

 

3

 

PROPIEDAD 3      

 

 

4

 

PROPIEDAD 4

 

 

5

 

VIDEOS DE LA MULTIPLICACION DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

 

 

 

 

 

 

III

 

 

LA SUMA DE MATRICES EN  HOJAS ELECTRONICAS

 

IV

 

 

VIDEOS DE LA SUMA DE MATRICES CON EL EXCEL

 

V

 

 

DEFINICION DE MULTIPLICACION DE MATRICES

 

VI

 

 

 PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

 

VII

 

 

VIDEOS DE MULTIPLICACION DE MATRICES

 

VIII

 

 

DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 PROPIEDAD ASOCIATIVA        

 

 

2

 

 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA   (POR LA  IZQUIERDA)

 

 

3

 

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION  RESPECTO A LA SUMA  (POR LA DERECHA)     (B+C)*A=B*A+C*       

 

 

4

 

 EXISTENCIA DE LA MATRIZ IDENTIDAD

 

 

5

 

 ASOCIATIVIDAD RESPECTO AL ESCALAR  c.

   c*(A*B) = A*(c*B)=(c*A)*B  

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

    EJERCICIOS  DE  EVALUACION 

 

X

 

 

 EJERCICIOS  RESUELTOS CON EL PROGRAMA  MATHCAD

 

XI

 

 

LAS MATRICES DE ORDEN 3x3 

 

 

 

 

 

.

 

 

1

 

LA SUMA DE MATRICES DE TRES  FILAS Y  TRES  COLUMNAS

 

 

 

2

 

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO Y UNA MATRIZ

 

 

3

 

LAS  PROPIEDADES  DE  LA  MULTIPLICACION  DE  MATRICES   3X3

 

 

4

 

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

 

 

 

5

 

VIDEOS  DE  MULTIPLICACION DE MATRICES  3X3

 

 

 

 

 

 

XII

 

 

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE ALGEBRA DE MATRICES

 

 

 

 

 

 

XIII

 

 

LAS MATRICES DE ORDEN   mXn

 

XIV

 

 

EL ALGEBRA DE LAS  MATRICES  COLUMNA     mX1

 

XV

 

 

VIDEOS  DE  SUMA DE DOS VECTORES  COLUMNA

 

XVI

 

 

LA MULTIPLICACION DE MATRICES  NO CUADRADAS

 

XVII

 

 

VIDEOS DE MULTIPLICACION DE MATRICES

 

XVIII

 

 

TRANSPOSICION  DE MATRICES

 

 

 

 

 

 

 

1

 

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION

 

 

 

2

 

VIDEOS  DE  LA  TRANSPUESTA  DE  UNA  MATRIZ

 

 

3

 

EJEMPLOS   SOBRE LAS PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION  Y EL BINOMIO DE  NEWTON

 

 

 

4

 

EJERCICIOS DE EVALUACION  Y SUS RESPUESTAS

 

 

XIX

 

 

EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

 

XX

 

 

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

 

 

 

 

.

C

 

 

 

LA MATRIZ INVERSA

 

 

 

 

 

 

I

 

 

PROPIEDADES DE  LAS MATRICES INVERSAS

 

II

 

 

 PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE  HOJAS ELECTRONICAS  Y EL MATCAD

 

III

 

 

MATRICES ESPECIALES

 

IV

 

 

VIDEOS DE MATRICES INVERSAS

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE HOJAS ELECTRONICAS  U  HOJAS DE TRABAJO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

LOS  SISTEMAS  DE  ECUACIONES  LINEALES        

 

 

 

 

 

 

I

 

 

UN  ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJEMPLO 1

 

 

 

2

 

EJEMPLO 2

 

.

 

3

 

EJEMPLO  3    RECTAS PARALELAS

 

 

 

4

 

 EJEMPLO  4      RECTAS COINCIDENTES

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

LAS OPERACIONES ELEMENTALES

 

III

 

 

METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

 

 

 

 

 

1

 

METODO DE SUSTITUCION

 

 

 

2

 

METODO DE IGUALACION

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

LA  SOLUCION  PARA LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  POR MEDIO DE MATRICES  INVERSAS

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJEMPLO 1

 

 

 

2

 

EJEMPLO 2

 

 

 

3

 

EJEMPLO 3

 

 

 

4

 

 EJEMPLO 4

 

 

 

5

 

EJEMPLO 5

 

 

 

6

 

 EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APLICANDO   LA MATRIZ INVERSA

 

 

 

 

7

 

PROBLEMAS RESUELTOS  DE APLICACIONES A LAS CIENCIAS ECONOMICAS

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

LOS  ALGORITMOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE:  GAUSS, GAUSS JORDAN  Y   KRAMER

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EL ALGORITMO DE GAUSS                                  .

 

 

 

2

 

PROBLEMAS  RESUELTOS CON EL METODP DE  GAUSS  JORDAN

 

 

 

3

 

VIDEOS  DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

 

4

 

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR MEDIANTE GAUSS JORDAN

 

 

 

5

 

 LA  REGLA  DE  KRAMER

 

 

 

6

 

VIDEOS  DE  CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR  MEDIANTE GAUSS JORDAN Y CRAMER

 

 

 

 

 

 

VI

 

 

PROBLEMAS RESUELTO POR LOS METODOS DE DE GAUSS, GAUSS JORDAN Y EL METODO DE LA INVERSA

 

VII

 

 

CONCEPTOS DE GEOMETRIA  ANALITICA   EN   R3

 

 

 

 

 .

E

 

 

 

 OPERACIONES  CON VECTORES:  DISTANCIA, PRODUCTO PUNTO, NORMA DE VECTORES, Y LOS NUMEROS COMPLEJOS EN R2  

 

 

I

 

 

LOS VECTORES EN  R2, OPERACIONES Y PROPIEDADES, GRAFICOS   

 

II

 

 

DISTANCIA  ENTRE  DOS  PUNTOS  Y PROBLEMAS RESUELTOS

 

 

 

 

VIDEOS DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

 

III

 

 

DISTANCIA, FUNCIONES Y GEOMETRIA LINEAL EN  R2,  RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

 

 

 

 

VIDEOS DE GEOMETRÍA LINEAL

 

IV.

 

 

DISTANCIA   Y  NORMA  DE  UN  VECTOR, EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

 

 

 

 

VIDEOS DE LA NORMA DE UN VECTOR

 

V

 

 

PRODUCTO  PUNTO  O  PRODUCTO  INTERIOR  EUCLIDEANO

 

 

 

 

VIDEOS DE ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO

 

 

 

 

 

F

 

 

 

LOS NUMEROS COMPLEJOS  Y  SU  ISOMORFISMO VECTORIAL EN R2

 

I

 

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN R2

 

II

 

 

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS COMPLEJOS

 

III

 

 

MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UN NUMERO COMPLEJO

 

IV

 

 

PRODUCTO  DE  NUMEROS  COMPLEJOS

 

V

 

 

LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

 

VI

 

 

VIDEOS DE LAS OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS Y PROPIEDADES

 

VII

 

 

FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS

 

VIII

 

 

VIDEOS DE LA FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS

 

 

 

 

 

G

 

 

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL POR MEDIO DEL LINDO Y EQUATION GRAPHER: PRIMAL Y DUAL

 

I

 

 

VIDEOS DE PROGRAMACION  LINEAL

 

II

 

 

ELEMENTOS BÁSICOS Y EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

 

 

 

 

 

H

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

 

 

 

 

 

 

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL APLICADO A LA ECONOMIA Y CONFIABILIDAD con el software EQUATION GRAPHER y MATHCAD

 

A.         INTRODUCCIÓN

Este libro es de nivelación matemática II para las carreras técnicas en “INGENIERIA ESTADISTICA APLICADA A LA FIABILIDAD Y RIESGOS” , "INGENIERIA DE MODELOS GERENCIALES", "INGENIERIA DEL RECURSO HUMANO",  "ECONOMIA FINANZAS Y RIESGOS", "ESTADISTICA E INVESTIGACION EN SALUD Y SOBREVIVENCIA".   Este libro electronico de Calculo con preblemas resueltos del analisis matematico puede ayudar a estudiantes de ingeniería y ciencias económicas  a una mejor comprensión del calculo desde la perspectiva del nuevo milenio, en el sentido de las aplicaciones de software matemático como una herramienta de aprendizaje.    El escribir un libro de calculo, radica en la simbología.    El  Mathcad facilita la escritura y edición de textos de matemática. “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” en una variable ha sido elaborado con el Mathcad en la solución cuantitativa de problemas relacionados a limites, derivadas e integrales en una variable.  Presenta ademas matemática superior, y soluciones graficas de funciones en una y dos variables independientes, etc.

Se utilizó el editor del Mathcad  cuyos archivos fueron salvados en formato  htlm  para luego ser trasladado al Word para la redacción del texto. Otro programa que ha sido utilizado en la elaboración de este texto es el “Equation Grapher”  que facilita gráficos en el plano cartesiano xy. 

 En el sentido anterior, el libro “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”  presenta  la solución de problemas sobre limites, continuidad, derivadas de funciones  polinomiales, algebraicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las funciones inversas trigonometricas.  También se incluye el teorema fundamental del calculo y técnicas de integración por cambio de variable de las diversas funciones antes comentadas.       Es un texto  que no pierde el formalismo matemático a pesar de que algunos  teoremas no son demostrados, pero en las aplicaciones practicas de problemas resueltos mediante el análisis matemático  ayuda a  consolidar el aprendizaje teórico y practico del estudiante de calculo con el respaldo de importantes software de matemática.   Las aplicaciones del mathcad  y equation grapher  exige un cambio de la enseñanza de la matemática aplicada de la educación media y superior de Centroamérica.

 En el sentido antes descritos el libro en la parte B  se presenta la teoría de limites con ejercicios resueltos sobre las aplicaciones de los teoremas, se incluyen los fundamentos de las sucesiones y series.  En la parte C  estudiamos la continuidad  cuyos teoremas se respaldan con ejercicios resueltos de análisis matemático.   En la parte CH hacemos una introducción de las sucesiones y series  con el objetivo de preparar al Lector hacia el concepto del calculo integral.

 En la parte D  presentamos el concepto de derivada  y sus teoremas respaldados con aplicaciones del Mathcad y el software equation grapher, presentamos la regla de la cadena y sus aplicaciones en el calculo diferencial.   Seguidamente en la sección E cubrimos las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las inversas;  se presentan ejercicios resueltos sobre diferenciabilidad, continuidad, el teorema del valor medio, el teorema Rolle, el teorema de Bolzano y el teorema  de Lhospital.   En la parte F  analizamos  la teoría de la optimización clásica en una variable con los conceptos de funciones crecientes o decrecientes, máximos o mínimos, concavidades y puntos de inflexión.  En la parte G estudiamos algunas aplicaciones del calculo a la microeconomía  en lo relacionado a la optimización económica.  En la parte H  presentamos el concepto de  diferencial, y de antiderivadas con ejercicios resueltos, presentamos el operador sumatoria  y la integral definida y sus propiedades y ejercicios resueltos.  Seguidamente presentamos el teorema fundamental del calculo con ejercicios de análisis matemático resueltos.   El concepto de integral indefinida la presentamos con ejercicios resueltos  en integración que presentan funciones exponenciales, logarítmicas y  la  técnica de integración de cambio de variable;  también desarrollamos una extensión hacia las ecuaciones diferenciales.   En la parte I  concluimos con una introducción de funciones de varias variables y el concepto de derivada parcial.    En la parte J presentamos  un anexo de formulas del calculo integral  y finalmente presentamos la   Bibliografía.

 Vale mencionar mi agradecimiento a Dios Padre Nuestro Creador  por haberme permitido escribir a nivel de libros del CIMES  e IICES  en la colección de libros de matemática, estadística, economía, econometria y finanzas aplicadas.   Textos disponibles en esta pagina Web.

 

TABLA DE CONTENIDO DE  CALCULO DIFERENCIAL  E INTEGRAL

 

 

TEMAS

 

 

 

A.

 

INTRODUCCIÓN

 

 

 

B

 

INTRODUCCION AL CALCULO

 

 

 

 

I.

EL ORIGEN DEL  CALCULO

 

II.

TEOREMAS SOBRE LIMITES CON  PROBLEMAS RESUELTOS

 

III.

EL LIMITE  UNILATERAL POR LA DERECHA

 

IV.

EL LIMITE  UNILATERAL POR LA  IZQUIERDA

 

V.

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES

 

VI.

  LIMITES DE UNA FUNCION EN   INFINITO, OPERACIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS

 

VII.

UN LIMITE FUNDAMENTAL

 

VIII.

RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES

 

IX

 PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE  LIMITES

 

X.

LOS EJERCICIOS PROPUESTOS  Y  RESUELTOS

 

XI

VIDEOS DE LIMITES

 

 

 

C.

 

SUCESIONES Y SERIES

 

 

 

 

I.            

NOTACION  SIGMA  (SUMATORIA)

 

II.         

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA     ( ∑ )

 

III.       

VIDEOS DE SUMATORIAS Y PROPIEDADES

 

IV.        

INTRODUCCION A LAS SUCESIONES Y SERIES

 

V.           

LAS  SERIES

 

VI.        

LA   SERIE GEOMÉTRICA  Y  PROBLEMAS RESUELTOS

 

 

VIDEOS  DE  SUCESIONES  Y  SERIES

 

 

 

CH.

 

CONTINUIDAD 

 

 

 

 

I.            

TIPOS DE DICONTINUIDADES

 

II.         

TEOREMAS DE CONTINUIDAD Y PROBLEMAS RESUELTOS

 

III.       

VIDEOS  DE  CONTINUIDAD

 

 

 

D.

 

LA   DERIVADA:   DEFINICIÓN  Y PROBLEMAS RESUELTOS

 

 

 

 

I.            

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

II.          

LA  DERIVADA  DE UNA FUNCION

 

III.        

DEFINICION DE DERIVADA

 

IV.          

VIDEOS  SOBRE LA DEFINICION DE LA DERIVADA

 

V.            

 CONTINUIDAD  Y DIFERENCIABILIDAD

 

VI.          

EJERCICIOS DE EVALUACION

 

VII.        

TEOREMAS SOBRE DERIVADAS CON  PROBLEMAS RESUELTOS

 

VIII.      

LA REGLA DE LA CADENA

 

IX.          

RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS: REPASO DE LAS FORMULAS DE DERIVADAS

 

X.            

REPASO DE LAS FORMULAS DE DERIVACION

 

XI

VIDEOS DE DERIVADAS

 

 

 

E.

 

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMETRICAS

 

 

 

 

I.            

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

 

II.         

LA DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e

 

III.       

LA REGLA DE LA CADENA EN DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

 

IV.        

LA FUNCION EXPONENCIAL f(x)= k*er*x

 

V.           

VIDEOS  SOBRE  DERIVADAS  DE FUNCIONES EXPONENCIALES

 

VI.        

LA DERIVADA DE LA  FUNCION  LOGARITMO  NATURAL

 

VII.      

VIDEOS  DE  LAS  DERIVADAS  DE FUNCIONES  LOGARITMICAS

 

VIII.    

EJERCICIOS DE EVALUACION

 

IX.        

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICA Y SUS INVERSAS

 

X.           

APLICACIONES DE LA REGLA DE LA CADENA EN LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

XI.        

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

 

XII.      

VIDEOS  SOBRE DERIVADAS TRIGONOMETRICAS INVERSAS

 

XIII.    

IX         EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

 

XIV.     

X     APLICACIONES DEL TEOREMA DE  L’HÔSPITAL.  EJERCICIOS RESUELTOS

 

XV.       

XI        EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y EL TEOREMA DE ROLLE

 

 

 

F.

 

  LOS OPTIMOS DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE

 

 

 

G

 

   EL CALCULO DIFERENCIAL APLICADO A LA ECONOMIA

 

 

 

H

 

  EL CALCULO INTEGRAL Y UNA INTRODUCCIÓN A LAS  ECUACIONES DIFERENCIALES

 

 

 

 

I.

 LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

 

II.

ANTIDERIVADAS

 

III.

   INTRODUCCION A LA INTEGRACION

 

IV.

LA INTEGRAL DEFINIDA

 

V.

PROPIEDADES DE LA  INTEGRAL DEFINIDA

 

VI.

EL  TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

 

VII.

APLICACIONES  DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

 

VIII.

VERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS DE INTEGRACION DEFINIDA

 

IX.

LA  INTEGRACION  INDEFINIDA

 

X.

 INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

 

XI.

INTEGRACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS

 

XII.

 INTEGRACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y EJERCICIOS

 

XIII.

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE AREAS E INTEGRALES DEFINIDAS

 

XIV

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

 

 

 

I.

 

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

 

 

 

J.

 

BIBLIOGRAFIA

 

 

 

 

 

 

NIVELACION MATEMATICA II ALGEBRA DE FUNCIONES Y LIMITES CON EL EQUATION GRAPHER

 

A.        Introducción

Este libro es de nivelación matemática II para las carreras técnicas en “INGENIERIA ESTADISTICA APLICADA A LA FIABILIDAD Y RIESGOS” , "INGENIERIA DE MODELOS GERENCIALES", "INGENIERIA DEL RECURSO HUMANO",  "ECONOMIA FINANZAS Y RIESGOS", "ESTADISTICA E INVESTIGACION EN SALUD Y SOBREVIVENCIA".

Utilizaremos el demo  “Equation Grapher”, que contiene los análisis de funciones con  “Cálculo Diferencial e Integral”.  Sin pérdida de generalidad el “demo” contiene lo básico del software dado que los elementos teóricos se complementan con este texto.  Sin embargo el Participante puede comprar el programa completo, aproximadamente en 20 dólares.  El “Equation Grapher”.  Es un paquete matemático que  se puede adquirir  vía  internet. 

Los participantes pueden realizar cualquier gráfico de  funciones,  una vez que el Lector escribe la relación funcional, marca la tecla EXE y el gráfico se genera.  En el volumen de matemática básica (volumen II) cubriremos el cáculo diferencial e integral.  Los estudiantes revisarán los conceptos básicos de la matemática de Educación Media hacia la Educación Superior reforzando sus conocimientos con la aplicación de paquetes matemáticos computarizados de tal manera puedan operar y visualizar los conceptos elementales del álgebra de los números reales, el álgebra de funciones, el álgebra lineal, el álgebra del cálculo diferencial e integral; en los tres volúmenes de matemática básica que el IICES e  CIMES[2] ha elaborado.

En esta primera carpeta de nivelación matemática de los PIMACS es un connjunto de cinco  libros: “LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMERICOS”, “ALGEBRA DE FUNCIONES Y LIMITES”, “ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y BASES DE DATOS CON PAQUETES ESTADISTICOS” ,   “ALGEBRA LINEAL” y  “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES”  con aplicaciones del Mathcad, SPSS, Excell y Equation Grapher.   Los cinco libros son un enfoque intuitivo de la matemática respaldada por los software ya comentados, se demuestran algunos teoremas sin perder la rigurosidad abstracta respaldada con ejercicios resueltos del análisis matematico .  Sin embargo en la bibliografía se presentan textos que son axiomáticos y que pueden favorecer el fortalecimiento de la lógica inductiva y deductiva del  Lector o Estudiante.

Ya sea que el Participante utilice el “Equation Grapher” o alguna microcomputadora de la “Texas Instruments” el resultado en cuanto aprendizaje es equivalente.   El participante decide que paquete matemático  puede  utilizar en este proceso de enseñanza aprendizaje. 

En el sentido antes descrito,  en la parte B  se desarrolla el producto cartesiano y sus operaciones, se incluyen videos de vectores en R2  y  el  plano cartesiano en las notación de conjuntos[3].   En la parte C  se cubre las relaciones y funciones en R2  dominio y rango  y se incluyen videos de YOUTUBE.   En la parte D se desarrolla las funciones polinomiales, igualdad de polinomios y sus operaciones de suma resta, multiplicación, con el complemento que generan los videos de YOUTUBE en el aprendizaje,  se presenta ejercicios resueltos. El concepto de polinomios se extiende a las funciones lineales, cuadráticas cubicas, operaciones entre estas formas de funciones polinomiales con sus respectivos graficos con el software Equation Grapher (existe un software equivalente el Graphmatica que se descarga gratis en Internet), se sigue con los ceros de un polinomio y su representación grafica con los software comentados,  las funciones polinomiales se extiende a las funciones crecientes y decrecientes, pares e impares con el complemento de los videos de Youtube por estos temas.

En la parte  E  se cubre las funciones racionales, asíntotas dominio y rango, con el complemento de videos y el desarrollo de graficos del Equation Grapher.

En la parte  F  se cubre las funciones  de valor absoluto  y sus propiedades y funciones por partes,  con las imágenes que general el Equation Grapher.  En todos los graficos anteriores se desarrolla los desplazamientos en los ejes absisa y ordenadas con imágenes del software comentado.   En la parte  G  seanaliza las funciones algebraicas con sus desplazamientos e imágenes con el software  y en todo lo anterior se siguen presentando los videos seleccionados de Youtube.   En la parte  H  se estudia las funciones exponenciales de cualquier base, en particular las de base 10  y la de base e.   se siguen presentando imágenes y tablas que genera el software, desplazamientos  y videos, en las funciones exponenciales se cubre la curva normal  y otras funciones especiales exponenciales, este concepto se extiende a las funciones uno a uno (inyectivas) y su extensión a las funciones inversas exponenciales o funciones logarítmicas con sus desplazamientos, dominio y rango, propiedades de las funciones exponenciales y logaritmicas.   En la parte I se desarrolla las funciones circulares o de enrrollamiento que generan a las funciones trigonométricas, angulos, cofunciones, identidades trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y domio y rango con sus desplazamientos e imágenes del software Equation Grapher  y el complemento de los videos Youtube.

En la parte J se estudian los limites, asíntotas verticales y horizontales, graficos del software Equation Grapher y el complemento de los videos seleccionados de Youtube.  En la parte K se presenta la bibliografía.   Las citas al pie de pagina incluyen enlaces de Internet.       

Vale mencionar que los modelos de la Econometría, la Programación Lineal, y la  Economía Matemática,  lo constituye estos libros de matematica de nivelación ya comentados. Los graficos del equation Grapher se desarrollan en el lenguaje matematico de la programación de computadoras.

 Si en la era de las computadoras u ordenadores  “el análisis matemático y sus aplicaciones, sus  base de datos con sus variables[4]” se constituyen en los fundamentos de los sistemas de toma de decisiones incluyendo los modelos de fiabilidad con métodos de la econometría.  Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir los 84 libros que conforman las carreras educativas en educacion superior y libros para educacion media.  Libros del CIMES e IICES.

ALGEBRA DE FUNCIONES  Y  LIMITES

 con  graficos del paquete matemático  Ecuación Grapher” .

 

 

 

TEMAS

 

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCIÓN

5

B

 

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

9

 

 

 

 

 

 

I.

 

LA IGUALDAD DE PAREJAS ORDENADAS

10

 

II.

 

LA SUMA DE PAREJAS ORDENADAS

11

 

III.

 

LAS COORDENADAS CARTESIANAS

12

 

IV

 

VIDEOS  DE  VECTORES  EN  R2   Y  EL  PLANO  CARTESIANO

13

 

 

 

 

 

C

 

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES CON PROBLEMAS RESUELTOS

14

 

 

 

 

 

 

I.

 

DEFINICION DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION,  EJEMPLOS

18

 

II.

 

EJERCICIOS RESUELTOS  SOBRE RELACIONES Y FUNCIONES

21

 

III.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS 

25

 

IV.

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES

26

 

 

 

 

 

D.

 

 

LAS FUNCIONES POLINOMIALES

27

 

 

 

 

 

 

I.

 

EL GRUPO ABELIANO DE LOS POLINOMIOS.  PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

28

 

 

 

 

 

 

 

1.

LA DEFINICION DE POLINOMIOS

28

 

 

2.

LA NOTACION  SUMATORIA  

29

 

 

3.

PROPIEDADES  DE  LA  SUMATORIA    

30

 

 

4

LOS POLINOMIOS  CON LA NOTACION SUMATORIA ∑

31

 

 

5.

LA  IGUALDAD DE  POLINOMIOS

 

31

 

 

6

GRADO  DE  UN  POLINOMIO  P(X)

32

 

 

7

EJEMPLOS  Y  EJERCICIOS  PROPUESTOS

33

 

 

8

SUMA  DE  POLINOMIOS

34

 

 

9

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

35

 

 

10

PROBLEMAS RESUELTOS 

36

 

 

11

LA  RESTA DE POLINOMIOS Y EJERCICIOS RESUELTOS 

43

 

 

12

VIDEOS  DE  ALGEBRA DE POLINOMIOS EN YOUTUBE

48

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

 

EL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FUNCIÓN  POLINOMIAL

49

 

III.

 

LA MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES  POLINOMIALES

54

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION FORMAL DEL PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS

57

 

 

2.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

58

 

 

3.

EJERCICIOS RESUELTOS 

59

 

 

4.

EJERCICIOS PROPUESTOS

62

 

 

5.

VIDEOS   DE  MULTIPLICACION  DE  POLINOMIOS

 

64

 

 

 

 

 

 

IV.

 

  LAS  FUNCIONES  LINEALES

 

66

 

 

1.

VIDEOS  DE  FUNCIONES LINEALES

75

 

V.

 

LAS FUNCIONES DE GRADO 2  Y GRÁFICOS

76

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  DE  GRADO  2

97

 

VI.

 

LAS FUNCIONES DE TERCER GRADO Y GRÁFICOS

98

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES DE GRADO 3.                       

102

 

VII

 

LAS OPERACIONES Y GRAFICOS POLINOMIALES

103

 

VIII.

 

LOS CEROS DE UN POLINOMIO Y GRAFICOS CON PROBLEMAS RESUELTOS

114

 

 

 

VIDEOS  DE LOS CEROS  DE  UN  POLINOMIO

117

 

IX.

 

LAS FUNCIONES PARES E IMPARES CON PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

118

 

X.

 

 CRECIMIENTO  Y  DECRECIMIENTO DE FUNCIONES

121

 

XI.

 

LA COMPOSICION  DE  FUNCIONES

123

 

XII.

 

COCIENTES DE INCREMENTOS

128

 

XIII

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES

132

 

 

 

 

 

E.

 

 

LAS FUNCIONES RACIONALES

133

 

 

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y GRAFICOS         

 

133

 

I.

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  RACIONALES

144

 

 

 

 

 

 

II.

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

 

145

 

 

 

 

 

F.

 

 

LAS FUNCIONES ESPECIALES

 

146

 

 

 

 

 

 

I.

 

LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

 

146

 

 

 

VIDEOS  DE  LA  FUNCION  VALOR  ABSOLUTO

155

 

II.

 

 EJERCICIOS DE EVALUACION

 

156

 

 

 

 

 

G.

 

 

LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS  CON PROBLEMAS RESUELTOS

156

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  ALGEBRAICAS

 

172

 

 

 

 

 

H

.

 

 

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

 

173

 

I

 

GENERALIDADES

173

 

 

1

LA  FUNCION EXPONENCIAL  DE BASE  2

173

 

 

2

LA  FUNCION EXPONENCIAL  DE BASE  10

180

 

 

3

LA  FUNCION  EXPONENCIAL  DE  BASE  e

183

 

 

4

LA  FUNCION EXPONENCIAL 

185

 

 

5

LA  CURVA  NORMAL  ESTANDAR  

187

 

 

6

EJERCICIOS  DE  EVALUACION  DE  LAS  FUNCIONES  EXPONENCIALES

190

 

 

7

VIDEOS  DE  FUNCIONES EXPONENCIALES 

191

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

LAS FUNCIONES  UNO  A  UNO

 

192

 

 

 

 VIDEOS DE FUNCIONES UNO A UNO

 

194

 

III.

 

LAS FUNCIONES INVERSAS

 

194

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  INVERSAS

 

198

 

IV.

 

LA   FUNCION  LOGARITMO  DE  BASE  10

 

199

 

V.

 

LA  FUNCION  LOGARITMO  DE  BASE   e

 

201

 

VI.

 

EJERCICIOS DE EVALUACION DE FUNCIONES INVERSAS

 

204

 

VII

 

VIDEOS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

205

 

 

 

 

 

I

 

 

 

LAS  FUNCIONES CIRCULARES O DE  DE ENROLLAMIENTO

205

 

 

 

 

 

 

I.

 

DEFINICIONES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y ANGULOS

 

205

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  CIRCULARES

 

207

 

II.

 

LOS ANGULOS Y LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

209

 

III

 

COFUNCIONES

220

 

IV.

 

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

221

 

 

 

VIDEOS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

223

 

V

 

LAS FUNCIONES SENO COSENO Y TANGENTE Y GRÁFICOS

224

 

 

 

VIDEOS DE LAS INVERSAS DEL SENO COSENO

230

 

VI

 

LA LEY DE LOS SENOS Y LA LEY DE LOS COSENOS

231

 

 

 

VIDEOS DE LA LEY DE LOS SENOS Y LEY DE COSENOS

232

 

VII

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

236

 

 

 

 

 

J

 

 

EL  CÁLCULO DE LÍMITES

237

 

 

 

 

 

 

I

 

EL  ORIGEN DEL CALCULO

237

 

II

 

EL LIMITE  Y  SU  DEFINICION FORMAL

241

 

 

 

VIDEOS  DE  LIMITE  Y SU DEFINICION

243

 

III

 

TEOREMAS DE LIMITES Y PROBLEMAS RESUELTOS

244

 

IV

 

EL  LIMITE  UNILATERAL  POR  LA DERECHA

251

 

V

 

EL  LIMITE  UNILATERAL  POR  LA  IZQUIERDA

252

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES

253

 

VII

 

LIMITES DE UNA FUNCION EN INFINITO

255

 

VIII

 

UN LIMITE  FUNDAMENTAL

256

 

IX

 

RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES

257

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES

258

 

XI

 

VIDEOS SOBRE LIMITES

278

 

 

 

 

 

K

 

 

BIBLIOGRAFIA

280

 



[1]Los PIMACS comprende cinco Maestrias entre ellas:  1. Maestria en  Economia y Finanzas,  2.  Maestria en Modelos en Decisiones Gerenciales,  3.  Maestria en Direccion Estrategica de los Recursos Humanos,  4. Maestria en Estadistica e Investigacion Socioeconomica,  y  5. Maestria en Matematica Aplicada a la Economia.  Todos los libros de los PIMACS  son elaborados por el CIMES  IICES  y todos contienen videos por temas.  Consulten el siguiente enlace  http://www.monografias.com/usuario/perfiles/jose_salomon_perdomo_mejia

   

[2]Vean la pagina de Jose Salomon Perdomo Mejia Rector del CIMES  IICES  en el enlace de monografías.com  http://www.monografias.com/usuario/perfiles/jose_salomon_perdomo_mejia

 

[3]El Lector o Estudiante debe haber estudiado los libros anteriores “LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y  SISTEMAS NUMERICOS”  ,  “EL ESPACIO VECTORIAL Y ANILLO DEL CONJUNTO DE  POLINOMIOS” y  “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA”.  Libros editados por el IICES   CIMES  del Autor Jose Salomón Perdomo Mejia.  San Pedro Sula Honduras CA.

[4] Consultar el modulo anterior o Segundo libro “ESTADISTICA BASICA CON EL EXCELL Y EL SPSS”.

ALGEBRA DE POLINOMIOS Y  MÉTODOS DE FACTORIZACION

A.                  INTRODUCCION

 El presente libro es de nivelación matemática para las carreras técnicas en “INGENIERIA ESTADISTICA APLICADA A LA FIABILIDAD Y RIESGOS” , "INGENIERIA DE MODELOS GERENCIALES", "INGENIERIA DEL RECURSO HUMANO",  "ECONOMIA FINANZAS Y RIESGOS", "ESTADISTICA E INVESTIGACION EN SALUD Y SOBREVIVENCIA".

El libro electronico interactivo “ALGEBRA DE POLINOMIOS Y METODOS DE FACTORIZACION” presenta un enfoque diferente a los textos tradicionales de factorización de polinomios, porque contiene videos por temas, videos seleccionados de YOUTUBE para facilitar el proceso de aprendizaje en la modalidad de educación a distancia y virtual, además presenta un enfoque de estructuras algebraicas al conjunto de polinomios.   Es decir,  El algebra de  los polinomios se desarrolla en la estructura de espacio vectorial y de anillo.  De esta manera se estudian los ceros o raíces  de un polinomio, concepto que nos lleva a   los principios  básicos de la factorización  y a la divisibilidad de polinomios.

Lasa dudas del Lector se aclaran a traves de nuestro blog de esta pagina web.  En este sentido,  un anillo intuitivamente es un conjunto de números reales en el que podemos sumar, restar y multiplicar con las propiedades habituales[1].   En el conjunto de los polinomios es similar el concepto de anillo, interesa la suma de polinomios y sus propiedades de grupo abeliano (conmutativo), interesa la multiplicación de un numero por un polinomio y sus propiedades,  en conclusión las propiedades anteriores forman un espacio vectorial en el conjunto de los polinomios, y en ese sentido todo polinomio es un vector.   También es de  gran importancia la multiplicación de polinomios y sus propiedades.  Si  al  espacio vectorial de los polinomios le añadimos  las propiedades de la  multiplicación sobre el conjunto de los Reales decimos que tal conjunto de los polinomios forma un anillo conmutativo con unidad.

 De lo anterior  cubrimos  el binomio de Newton, la formula cuadrática, la diferencia de cuadrados,  la suma y diferencia de cubos  y sus consecuencias en la factorización de relaciones algebraicas (división de polinomios).   Recordando que  los coeficientes del binomio de newton son las bases del análisis combinatorio que conduce a la teoría de la probabilidad y además  del binomio de Newton se obtiene la función de probabilidad Binomial que es una fuente importante en la teoría de los grande números[2] y de el estudio de las series.   El  presente libro analiza los principales teoremas de la factorización tales como el “Teorema fundamental del algebra” el Lema de Gauss, la regla de Ruffini (división sintetica)”.    Seguidamente  analizamos las funciones polinomiales cuadráticas y sus gráficos mediante el software “Equation Grapher” y el “MathCad”,  el concepto de distancia entre dos puntos y la circunferencia y las figuras cónicas ( elipse, hipérbola y parábola)[3] 

 Un objetivo del libro es que los alumnos sean capaces de:  Distinguir cada caso de factores.  Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente, cuál es el caso de factores que deben aplicar; y que lo sepan aplicar.   Identificar si un polinomio es primo o compuesto. Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de un caso de factores y análisis funcional simple.

El objetivo general es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema de los polinomios de una o más variables, saber por donde empezar, qué propiedad aplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio del análisis factorial y divisibilidad de polinomios.   Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo más completos posibles, en sus cuadernos de trabajo, la corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en el pizarra u otras herramientas de enseñanza.  En esta oportunidad haríamos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qué propiedades aplicaron en cada uno de ellos.   De esta manera lograríamos que los alumnos participen de la clase, y además también puede surgir que para un mismo ejercicio hayan alumnos que lo resuelvan manera distintas pero correctas. Y en este sentido estimular la creatividad algebraica de los Estudiantes o Lectores.

 En resumen  el libro cubre   en la parte B  un análisis del espacio vectorial y anillo de los polinomios respaldado con teoremas demostrados sobre las propiedades de la suma de polinomios y producto de un numero  con un polinomio reforzado con ejercicios resueltos y propuestos, seguidamente estudiamos la multiplicación de los polinomios haciendo un enfoque formal de la definición, las propiedades de la multiplicación de polinomios no se demuestran pero se respaldan con ejercicios resueltos y propuestos.

En  la parte C  del libro presentamos la factorización de los polinomios como un proceso inverso de la multiplicación antes comentada, de esta manera desarrollamos el trinomio cuadrado perfecto, la factorización por complementación del trinomio cuadrado perfecto, el factor común por agrupación, la diferencia de cuadrados perfectos, factorización del binomio al cubo, el binomio de newton y sus propiedades, la factorización de suma de cubos y diferencia de cubos.  Todo lo anterior respaldada con ejercicios resueltos y propuestos.    En la parte D   estudiamos  el valor numérico, los ceros de un polinomio y los factores de un polinomio por medio de los ceros o raíces,  estudiamos y deducimos la formula cuadrática para encontrar ceros o raíces de un polinomio de grado 2 .  En la parte E estudiamos la factorización, divisibilidad y las ecuaciones racionales o división de polinomios y las diversas técnicas de simplificación de  esta relaciones, cubrimos el algoritmo de la división de polinomios y la división sintética o método de Ruffini.  Presentamos los principales teoremas para factorizar, los ceros de un polinomio, el teorema fundamental del algebra, los teoremas de Descartes, el producto cartesiano y el sistema de coordenadas cartesianas.  En la parte F  estudiamos las relaciones y funciones, la distancia entre dos puntos, las ecuaciones lineales en su forma estandar, forma pendiente intercepto y la forma pendiente punto, se demuestran algunos teoremas entre ellos el de la rectas paralelas.  Se estudian las rectas perpendiculares. Y las funciones cuadráticas.   En La parte G  presentamos las relaciones conicas: la circunferencia, la elipses, la parábola y la hipérbola.       

  

 TABLA DE CONTENIDO

 

 

 

 

Pagina

A

 

 

INTRODUCCION

 

9

 

 

 

 

 

B

 

 

PROPIEDADES  DEL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS

 

12

 

I

 

  DEFINICION DE POLINOMIOS Y LAS PROPIEDADES DE LA SUMA

 

12

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION  DE  POLINOMIO 

 

12

 

 

2

LA  NOTACION  SUMATORIA   ∑  (SIGMA)

 

14

 

 

3

LAS  PROPIEDADES  DE  LA  SUMATORIA   (∑)

 

15

 

 

4

LOS POLINOMIOS CON LA NOTACION SUMATORIA  (  ∑  ) 

 

16

 

 

5

LA IGUALDAD DE POLINOMIOS 

17

 

 

6

GRADO DE UN POLINOMIO     P(x)

 

18

 

 

7

 EJEMPLOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

 

19

 

 

8

LA SUMA DE POLINOMIOS  Y SUS PROPIEDADES

21

 

 

9

PROPIEDADES  DE  LA SUMA  DE  POLINOMIOS

 

22

 

 

10

PROBLEMAS RESUELTOS  SOBRE LA SUMA DE POLINOMIOS

 

23

 

 

11

LA  RESTA DE POLINOMIOS

33

 

 

12

EJERCICIOS RESUELTOS

33

 

 

 

 

 

 

 

13

VIDEOS  DE  SUMAS  RESTAS DE POLINOMIOS

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

EL  PRODUCTO  DE UN NUMERO  CON UN POLINOMIO Y SUS PROPIEDADES

41

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION  DE UN NUMERO CON UN POLINOMIO

 

42

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

48

 

 

 

 

 

 

III

 

LA  MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Y SUS PROPIEDADES

49

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION FORMAL  DEL PRODUCTO  DE  DOS POLINOMIOS

 

52

 

 

2

 PROPIEDADES  DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

 

53

 

 

3

EJERCICIOS  RESUETOS 

 

55

 

 

4

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

61

 

 

5

VIDEOS  DE  MULTIPLICACION DE  POLINOMIOS

64

 

 

 

 

 

C

 

 

TECNICAS DE  FACTORIZACION  DE  POLINOMIOS

65

 

I

 

FACTOR  COMÚN  POR  AGRUPACION 

 

65

 

 

 

VIDEOS DE FACTOR COMÚN

69

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS   RESUELTOS 

 

70

 

 

2

VIDEOS DE FACTOR COMÚN Y PRODUCTOS NOTABLES

73

 

 

3

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  EJERCICIOS PROPUESTOS

74

 

 

 

VIDEOS  DE  FACTORIZACION  POR  TANTEOS

89

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

90

 

 

 

 

 

 

II

 

EL TRINOMIO  CUADADO  PERFECTO

 

91

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

94

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

98

 

 

3

VIDEOS DE FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

98

 

 

 

 

 

 

III

 

FACTORIZACION  POR  COMPLETACION DEL  TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

99

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

101

 

 

 

VIDEOS DE FACTORIZACION POR COMPLETACION AL CUADRADO

104

 

 

 

 

 

 

 V

 

FACTORIZACION POR   DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTO

 

105

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

106

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS  Y PROBLEMAS   PROPUESTOS

 

108

 

 

 

VIDEOS  DE  “DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO”

112

 

 

 

FACTORIZACION  DE UN   BINOMIO AL  CUBO

113

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO  Y  EJEMPLOS

 

114

 

 

 

VIDEOS  DE  BINOMIOS AL CUBO Y APLICACIONES DEL BINOMIO DE NEWTON

119

 

 

 

 

 

 

VII

 

EL  BINOMIO  DE  NEWTON

 

120

 

 

 

 

 

 

 

1

 EL  PRINCIPIO  FUNDAMENTAL  DEL  ANALISIS COMBINATORIO 

 

122

 

 

2

EL  FACTORIAL  DE  UN  NUMERO

 

123

 

 

3

LOS  COEFICIENTES  BINOMICOS

 

124

 

 

4

EL  BINOMIO  DE  NEWTON  Y  EJEMPLOS

 

126

 

 

5

 PROBLEMAS RESUELTOS 

130

 

 

 

 

VIDEOS  DEL BINOMIO DE NEWTON Y TRIANGULO DE PASCAL

 

132

 

VIII

 

LA  FACTORIZACION  DE  UNA  SUMA  Y  RESTA  DE  CUBOS

 

133

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

 

134

 

 

 

 

 

 

X

 

FACTORIZACION  DE  UNA  DIFERENCIA  DE  CUBOS  Y  EJEMPLOS

 

137

 

 

 

 

VIDEOS  DE  UNA  SUMA Y RESTA DE CUBOS

140

 

 

 

 

 

 

XI

 

 AUTOEVALUACION 

 

141

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

VALOR NUMERICO  Y  LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO

 

143

 

 

 

 

 

 

I

 

VALOR  NUMERICO  DE  UN  POLINOMIO

 

143

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS

 

144

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

148

 

 

 

 

 

 

II

 

 

LOS  CEROS  DE UN POLINOMIO Y EJERCICIOS RESUELTOS

 

150

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

160

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO  DE  GRADO  2  Y DEDUCCION DE LA FORMULA CUADRATICA

 

161

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS

 

164

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

171

 

 

 

VIDEOS SOBRE LOS CEROS DE UN POLINOMIO

 

172

 

 

 

 

 

E

 

 

FACTORIZACION  Y DIVISIBILIDAD EN ECUACIONES RACIONALES

 

173

 

 

 

 

 

 

I

 

ECUACIONES  RACIONALES NOTABLES Y SU SIMPLIFICACION

 

173

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS  RESUELTOS 

 

174

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

175

 

 

2

La COCIENTE  DE LA SUMA  O  RESTA  DE CUBOS  ENTRE LA SUMA O RESTA DE SUS BASES.   PROBLEMAS RESUELTOS

 

175

 

 

3

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

178

 

 

 

 

 

 

II

 

 OTROS  EJEMPLOS  RESUELTOS  POR  SIMPLIFICACION 

179

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

180

 

 

 

 

 

 

III

 

MULTIPLICACION  DE  ECUACIONES  RACIONALES  Y  SU  SIMPLIFICACION

 

182

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

184

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA DIVISION  DE  ECUACIONES  RACIONALES  Y  PROBLEMAS RESUELTOS

 

185

 

 

 

 

 

 

 

1

 EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

186

 

 

 

VIDEOS DE EXPRESIONES RACIONALES

187

 

 

 

 

 

 

V

 

 AUTOEVALUACION

 

188

 

VI

 

INTRODUCCION  AL  ALGORITMO  DE  LA  DIVISION

 

189

 

 

 

 

 

 

 

1

LA DIVISION DE POLINOMIOS  Y  EJERCICIOS  RESUELTOS 

 

190

 

 

 

 

 

 

VII

 

EL   ALGORITMO   DE LA  DIVISION

 

191

 

 

 

VIDEOS  SOBRE  EL  ALGORITMO DE LA DIVISION

192

 

 

 

 

 

 

 

1

EL  MODELO  DE  BARNETT

 

193

 

 

2

LA  DIVISION  DE  UN  MULTINOMIO  ENTRE  UN  TRINOMIO

 

197

 

 

3

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

 

201

 

 

4

AUTOEVALUACION 

 

202

 

VIII

 

 

LA   DIVISION  SINTETICA  Y  LOS  CEROS  DE  UN  POLINOMIO

205

 

 

1

DIVISION  SINTETICA:  PROCEDIMIENTOS  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

205

 

 

 

TEOREMAS  DEL  RESIDUO  Y  DEL  FACTOR

 

208

 

 

2

EJERCICIOS  PROPUESTOS

 

209

 

 

 

VIDEOS DE EVALUACION Y EXAMEN DE ALGEBRA DE POLINOMIOS

212

 

 

 

 

 

 

IX.

 

TEOREMAS  ACERCA  DE  LA  FACTORIZACION DE  LOS  POLINOMIOS  Y  APLICACIONES

 

213

 

 

 

ViDEOS DEL TEOREMA DE DESCARTES

214

 

 

1

TEOREMA DE DESCARTES

 

214

 

 

2

PROBLEMAS  PROPUESTOS  SOBRE  EL  TEOREMA  DE  DESCARTES

 

219

 

 

3

TEOREMA  DE  LOS  CEROS  COMPLEJOS  DE  POLINOMIOS CON COEFICIENTES  REALES Y  EJEMPLOS

 

220

 

 

4

EJERCICIOS  PROPUESTOS  SOBRE  LA  MULTIPLICACION DE FACTORES  COMPLEJOS

 

224

 

 

5

LA  DIVISION  DE  NUMEROS  COMPLEJOS  Y  PROBLEMAS  PROPUESTOS

 

225

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS  SOBRE  LA DIVISION DE NUMEROS  COMPLEJOS

 

 

 

 

 

VIDEOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Y DE R2

227

 

 

6

EL  TEOREMA  FUNDAMENTAL  DEL ALEGEBRA

229

 

 

7

EL TEOREMA DE LOS FACTORES  LINEALES  Y  EJERCICIOS RESUELTOS

230

 

 

8

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

232

 

 

9

EL  TEOREMA  DE  LOS  SIGNOS  DE  DESCARTES Y  EJEMPLOS

233

 

 

 

VIDEOS DE EVALUACION Y TEOREMA DE DESCARTES

233

 

 

10

EL  TEOREMA  DE  LAS  COTAS  SUPERIORES  E  INFEREIORES DE  LOS  CEROS  REALES,  EJEMPLOS

 

236

 

 

11

 EL  PRODUCTO  CARTESIANO

 

239

 

 

12

LAS  COORDENADAS  CARTESIANAS

 

241

 

 

13

UN  TEOREMA  PARA  ENCONTRAR EL  CERO  DE  UN  POLINOMIO EN UN  INTERVALO,  Y  EJEMPLOS

 

 

 

 

 

VIDEOS DE INTRODUCCION A LAS FUNCIONES

 

244

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS  RELACIONES  Y  FUNCIONES LINEALES  Y  CUADRATICAS

 

247

 

 

 

 

 

 

I

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES

 

247

 

 

1

DEFINICION  DEL  DOMINIO  Y  RANGO  DE  UNA  FUNCION,  Y  EJEMPLOS

 

251

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS

 

255

 

 

 

 

 

 

II

 

 DISTANCIA  ENTRE  DOS  PUNTOS  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS

 

256

 

 

 

VIDEOS SOBRE LA DISTANCIA DE DOS PUNTOS

261

 

III

 

LAS  RELACIONES  Y  FUNCIONES  LINEALES  EN  FORMA  ESTANDAR  CON EJEMPLOS

 

262

 

 

 

 

 

 

 

1

LA  ECUACION  LINEAL  EN  FORMA  PENDIENTE  INTERCEPTO  Y  FORMA  PENDIENTE  PUNTO  CON EJEMPLOS  RESUELTOS

 

268

 

 

 

VIDEOS SOBRE LINEAS RECTAS Y FUNCIONES

273

 

 

2

RECTAS  PARALELAS  Y  PERPENDICULARES

273

 

 

 

VIDEOS DE LINEAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

278

 

IV

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

278

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS  FUNCIONES  CUADRATICAS  CON  GRAFICOS

 

282

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  SOBRE  GRAFICOS  CUADRATICOS

 

285

 

 

2

 AUTOEVALUACION

 

289

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES CUADRATICAS

291

 

 

 

 

 

G.

 

 

 

LAS  RELACIONES  CONICAS

292

 

 

 

 

 

 

I

 

LA  CIRCUNFERENCIA  Y  PROBLEMAS  RESUELTOS  CON  GRAFICOS

295

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS  FUNCIONES  SEMICIRCULARES

297

 

 

 

 

 VIDEOS DE FUNCIONES CIRCULARES

 

302

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

303

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

LA  ELIPSE  Y  EJERCICIOS  RESUELTOS

307

 

 

 

VIDEOS DE LA ELIPSE

315

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

315

 

 

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS 

317

 

 

2    

LAS  LEYES  DE  KEPLER

319

 

 

 

VIDEOS DE LAS LEYES DE KEP´LER

 

321

 

III

 

LA  HIPERBOLA  Y  EJEMPLOS

322

 

 

1

PROBLEMAS  RESUELTOS  Y  PROPUESTOS

 

330

 

 

 

 VIDEOS DE LA HIPERBOLA

 

333

 

IV

 

LA  PARABOLA  Y  EJEMPLOS

334

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  PROPUESTOS  Y  RESUELTOS

 

337

 

 

 

VIDEOS DE LA PARABOLA

 

341

H

 

 

BIBLIOGRAFIA 

 

342

 

 

 



[1] Consultar el libro anterior “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS”  III Edición del IICES  y el   CIMES. Del mismo Autor.  Ediciones 2007.

 

[2] El Lector puede consultar los libros de estadística del IICES  e  CIMES:  ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA  CON EL EXCELL Y SPSS”  “LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD CON APLICACIONES DEL SPSS Y EL STATISTICA”, “ELEMENTOS DEL MUESTREO”, “ESTADÍSTICA APLICADA AL CONTROL DE CALIDAD CON APLICACIONES DEL MINITAB”, “LAS BASES DE LA ECONOMETRIA CON EL SPSS”, “ESTADÍSTICA ECONÓMICA CON MODELOS DE ECONOMETRIA”  y “MODELOS DE ECONOMETRIA Y PROPGRAMACION LINEAL.  Los libros anteriores disponibles en el CD  que contiene 35 libros de matemática, estadística, finanzas, econometría, economía etcétera.   

 

[3] El Lector puede consultar los libros del IICES  y el  CIMES    “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA”  ,  “EL ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS LIMITES” , “EL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”  EL ALGEBRA LINEAL CON EL MATHCAD Y EL EXCELL” Y ELEMENTOS DE LA PROGRAMACION LINEAL Y SUS APLICACIONES A LA MACROECONOMIA DE HONDURAS.  Estos libros disponibles en el CD antes comentado.